minimos al cuadrado

ESCUELA DE INGENIERIA AERONAUTICA Y DEL ESPACIO
Laboratorio de Física II

Información para el alumno

El ajuste de datos por mínimos cuadrados
•

Finalidad

Introducir al estudiante mediante un ejemplo práctico al análisis de datos
experimentales por el método de mínimos cuadrados.

En un laboratorio se comparan los resultados de los experimentos con las fórmulas
teóricas, es decir,comprobamos si las medidas concuerdan con los valores que predice la teoría.
Como hemos visto, las mediciones siempre están afectadas por errores y para determinar con
precisión el grado de concordancia es preciso efectuar cálculos estadísticos.
Esta tarea no siempre es fácil y en ciertos experimentos el análisis matemático de los datos puede
ser muy complejo. Sin embargo, para los casossencillos existen fórmulas sencillas de gran
utilidad práctica, como es el método de los mínimos cuadrados. Puede emplearse para aproximar
un conjunto de datos por funciones bastante generales, pero para el caso más simple que
estudiaremos en este curso, la función que ajustaremos será una recta. También puede utilizarse
b X
tomado logaritmos para aproximar otras otras funciones como por ejemplo,Y =a e
o

Y =a X b

Aunque una teoría nos asegure que la relación entre dos magnitudes Y =a+b X es lineal, en la
práctica, la dispersión que causan los errores experimentales hace que no se encuentren
exactamente dispuestos a lo largo de una recta(1) como muestra la Fig. 1a. El método de mínimos
cuadrados calcula a partir de los N pares de datos experimentales ( X i ,Y i ) los valores dela
pendiente b y del punto de corte con el eje a que mejor ajustan los datos a una recta. Como
se muestra en la Fig. 1b, se entiende por el mejor ajuste aquella recta que hace mínimas las
distancias d 1 , d 2 ,⋯ ,d N de los puntos medidos a la recta.

Fig. 1a : Las medidas experimentales
( X i ,Y i ) se disponen a lo largo de una recta.

Fig. 1b : la recta del ajuste que hace mínimas lasdistancias d 1 , d 2 ,⋯ ,d N

No vamos a deducir aquí las fórmulas para la pendiente y el punto de corte que pueden
encontrarse en cualquier texto de tratamiento de datos experimentales, sino que vamos a explicar
cómo emplearlas mediante un ejemplo sencillo(2). No son necesarios potentes ordenadores ni
sofisticados método de cálculo, pues en el laboratorio de prácticas no se emplean más de10-20
datos por práctica que pueden analizarse sin dificultad empleando una humilde calculadora. Para

ilustrar el procedimiento, los gráficos y tablas que lo acompañan se han hecho a mano alzada
deliberadamente para mostrar la sencillez del procedimiento.
Las ecuaciones que hay que utilizar para ajustar mediante el método de mínimos
i=1,2 ,⋯ , N datos experimentales agrupados en parejascuadrados un conjunto de
( X i ,Y i ) de medidas que deberían disponerse a lo largo de la recta Y =a+b X son,
N

a=

N

i =1

´

i =1

´

( ∑ Y i )(∑ X i2)−(∑ X i ) (∑ X i Y i )
i =1

´

i =1

´

N ( ∑ X i )−(∑ X i)
i =1

2

N

y la pendiente b=

´

´

N (∑ X i Y i )−( ∑ X i ) ( ∑ Y i )
i =1

i =1

´

i= 1

´

N ( ∑ X i )−(∑ X i)

2

i =1

i =12

2

i =1

que aunque parecen complicadas pueden manejarse fácilmente si procedemos con orden.
Supongamos que hemos medido la velocidad de un cuerpo movido por una fuerza
V o es la velocidad inicial y
constante de modo que tendremos V (t)=V o+A t donde
A=F o / m su aceleración. Nuestras medidas, es decir, los datos de partida serán los siete
valores de Fig. 2a con los que queremosdeterminar V o y A empleando las fórmulas
anteriores, X i son los tiempos t i y las velocidades V i (t i ) las coordenadas Y i .

Fig. 2a : Datos originales del ejemplo práctico del
ajuste por mínimos cuadrados.

Fig. 2b : Ajuste gráfico a mano alzada de los datos
por una recta.

En primer lugar es aconsejable dibujar los datos (por ejemplo, en un papel milimetrado) para
comprobar si...