Minimos Cuadrados Mv

Enunciado
Dada la siguiente Tabla calcule:
d) La presión de saturación (bar) @ una temperatura de 50°C.
e) El volumen específico (cm3/g) @ una presión de 0.8 bar y una temperatura de 180°C.
f) La temperatura @ a una presión de 0.8 bar y una entalpía de 3000 KJ/ Kg.
Aplique Mínimos Cuadrados usando todos los puntos posibles.

Tablas.- Propiedades de vapor sobrecalentado
v (cm3/g),u(KJ/Kg), H(KJ/Kg) y S(KJ/Kg K)


EXPLICACION DEL TEMA
APROXIMACION POLINOMIAL CON MINIMOS CUADRADOS

El método de interpolación de Lagrange genera polinomios que pasan por los puntos dados en forma tabular. Sin embargo, en ocasiones la información proporcionada en la tabla, contiene errores significativos, en cuyo caso estaríamos tratando de generar un polinomio de aproximación que pase cerca delos puntos, en cuyo caso tendríamos un número infinito de curvas que podrían pasar cerca de los puntos, para lo cual establecemos un método que genere la mejor curva, éste criterio consiste en seleccionar aquella curva para la cual:

“La suma de las distancias calculadas entre el polinomio de ajuste
P(x) y la función real f(x) sea mínima”

i=1nP(xi)-f(xi)=i=1ndi=mínimoi=1na0+a1x-f(xi)2=mínimo
En general, para aproximar una función dada en forma tabular a un polinomio de grado n, la expresión a minimizar es:
i=1na0+a1x+a2xi2+…+anxin-f(xi)2
Derivando parcialmente con respecto a cada uno de los parámetros ai, se llega al siguiente sistema de ecuaciones lineales:
ma0+a1xi+a2xi2+…+anxin=yi
a0xi+a1xi2+a2xi3+…+anxin+1=xiyi
a0xi2+a1xi3+a2xi4+…+anxin+2=xi2yia0xin+a1xin+1+a2xin+2+…+anxin+n=xinyi
Donde
yi=f(xi)

APROXIMACION POLINOMIAL CON MINIMOS CUADRADOS MULTIVARIABLE

Con frecuencia se tienen funciones de más de una variable, como será el caso de f(u,v,z) por ejemplo, si se tiene idea de una funcionalidad lineal en las distintas variables, es decir, que se ajustan a una ecuación de la forma:
y=a0+a1u+a2v+a3z
Entonces la función a minimizar sería:i=1ma0+a1ui+a2vi+a3zi-yi2
Derivando parcialmente con respecto a cada uno de los parámetros ai, se llega al siguiente sistema de ecuaciones:

ma0+a1u+a2v+a3z=yi
a0u+a1u2+a2uv+a3uz=uyi
a0v+a1uv+a2v2+a3vz=vyi
a0z+a1zv+a2zu+a3z=zyi

CÁLCULOS
d) La presión de saturación (bar) @ una temperatura de 50°C.

Solución
Para resolver por mínimos cuadrados se utilizan las tablas 1 y 2, pues se pide encontrar unapresión a la T=50°C, tomando dos puntos, los valores más cercanos a ésta son las temperaturas de saturación a las presiones de 0.06 bar y 0.35 bar, formando la siguiente tabla.
T (°C) | P (bar) |
36.16 | 0.06 |
72.69 | 0.35 |

Se genera la siguiente tabla para resolver con mínimos cuadrados.
Puntos | xi | f(xi) | xi2 | xi · f(xi) |
1 | 36.16 | 0.06 | 1307.55 | 2.1696 |
2 | 72.69 | 0.35| 5283.84 | 25.4415 |
m= 2 | ∑ xi = 108.85 | ∑ f(xi)= 0.41 | ∑ xi2= 6591.39 | ∑ xi · f(xi)=27.6111 |

Y se usará un polinomio de primer orden para aproximar los puntos, entonces:
Px= ao+aix
* Donde X= 50 (que es la temperatura a la que se pide encontrar la presión).

Para encontrar a0 y a1 se utilizarán las ecuaciones de la regla de Cramer:
a0=∑f(xi)·[∑xi2]- ∑xi·f(xi) ·[∑xi] m ∑xi2-[∑xi] 2

a1=m ∑xi·f(xi)-∑xi [∑f(xi)] m ∑xi2- [∑xi] 2

Sustituyendo en las ecuaciones
a0=0.416591.39-27.6111(108.85) 2 6591.39-(108.85)2=-0.2271
a1=227.6111- 108.85 (0.41) 2 6591.39-(108.85)2=0.0079

Sustituyendo a0, a1 y a x en el polinomio:
Px= -0.2271+0.007950=0.1679

Por lo tanto la presión a 50°C es de 0.1679 bar

e) El volumen específico (cm3/g) @ una presión de 0.8 bar yuna temperatura de 180°C.

* Este inciso se resolverá de dos maneras, por el método de “Mínimos Cuadrados” y por el método de “Mínimos Cuadrados multivariable”.
Por “Mínimos cuadrados”
Solución
Se pide un volumen específico a una presión de 0.8 bar, los valores que se acercan a esa presión son los de las tablas 3 y 4, pues la tabla 3 tiene una presión de 0.70 bar y la tabla 4 de 0.8...