Minimos Cuadrados Para Linealizacion

Ajuste de Curvas por mínimos cuadrados
Pablo Javier Salazar Valencia. Ingeniero Físico

Los mínimos cuadrados son una ténica matemática que permite encontrar la función matemática más probable ycon mejor ajuste a un conjunto de medidas experimentales, buscando simultaneamente minimizar la incertidumbre
própia de las variables.

Funciones Lineales
Si el análisis gráco da como resultadoun conjunto de datos cuya tendencia es similar a una línea recta de la forma:
y = a + bx

donde a es el intercepto y b la pendiente, esta técnica nos permite encontrar los valores de estos términosde la
siguiente forma:
xy − x · y

b=

x2 − (x)

2

y
a = y − bx

donde:
n
∑

x=

i=1
n

n
∑

xi

, xy =

n
∑

xi yi

, y=

i=1
n

n
∑

yi

, x2 =

i=1
nx2
i

i=1
n

el parámetro n representa el número de pares ordenados de datos.

Ejemplo
Supongamos que un experimento nos ha proporcionado el siguiente conjunto de datos:
y (cm)
x (s)105
10

195
20

301
30

390
40

510
50

El procedimiento es el siguiente:
No.
1
2
3
4
5
6
Total

x

10
20
30
40
50
60
210

y

105
195
301
390
510
602
2103xy

1050
3900
9030
15600
25500
36120
91200

100
400
900
1600
2500
3600
9100

Obtenemos de la información anterior:
x = 35
y = 350
x2 = 1517

2

(x) = 1225
xy = 15200
x · y= 12250

1

x2

602
60

Entonces la pendiente:
b=

xy − x · y
x2

2

− (x)

=

15200 − 35 · 350
≈ 10
1517 − 1225

y el punto de corte:
a = y − bx = 350 − 10x35 ≈ −1.4

yla nueva recta de ajuste es:
y = −1, 4 + 10x

la gráca la podemos apreciar a continuación:

Funciones Potenciales
Dada una función potencial de la forma:

y = AxB

que puede ser linealizadade la forma:

(
)
log (y ) = log AxB
log (y ) = log (A) + B log (x)

y cuya gráca puede ser dibujada en un papel logaritmico, el ajuste de mínimos cuadrados da las siguientes
expresiones...