Minimos cuadrados

Instituto Politécnico Nacional.
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica
y Eléctrica.
“Unidad Culhuacan”

MINIMOS CUADRADOS

ANALISIS NUMERICO

MINIMOS CUADRADOS APLICADOS A UN FILTRO ADAPTIVO

Alumnos:
Ávila Rojo Sonia Guadalupe
Calderón Mercado Jorge Alberto

Grupo: 4EM7

MINIMOS CUADRADOS APLICADOS A UN FILTRO ADAPTIVO
Objetivo: Debido al gran desarrollo de los sistemasde comunicaciones, los problemas que se presentan aumentan en la misma medida, lo que incrementa la complejidad de diseño de los sistemas para evitar el menor número de errores en la transmisión de información. Por ejemplo, cancelación de eco, ruido aditivo, interferencia íntersímbolo, son problemas considerables que se presentan a menudo en sistemas de comunicaciones digitales; su solución está enel uso de filtros adaptivos.

Para realizar este proyecto primero necesitamos saber que son los mínimos cuadrados:
Es una técnica de análisis numérico que permite encontrar una función que mejor se ajuste a los datos.
Supongamos que hemos medido un conjunto de pares de datos (xi, yi) en una experiencia, por ejemplo, la posición de un móvil en ciertos instantes de tiempo.
Queremos obteneruna función y=f(x) que se ajuste lo mejor posible a los valores experimentales. Se pueden ensayar muchas funciones, rectas, polinomios, funciones potenciales o logarítmicas.
Una vez establecido la función a ajustar se determinan sus parámetros, en el caso de un polinomio, serán los coeficientes del polinomio de modo que los datos experimentales se desvíen lo menos posible de la fórmula empírica.La función más sencilla es la función lineal y=ax+ .El procedimiento de ajustar los datos experimentales a una línea recta se denomina regresión lineal.
 
Queremos aproximar un polinomio de grado n, a un conjunto de m pares de datos (xi, yi) de modo que n m.
Sea el polinomio
P(x)=a0+a1x+a2x2+...anxn
Se calcula la cantidad

Para obtener los valores de los coeficientes del polinomioaproximador se tienen que determinar los valores de los coeficientes a0, a1, a2, ...an de forma que la cantidad S tome un valor mínimo.
Hagamos las derivadas parciales de S respecto de a0, a1, a2, ...an iguales a cero
             (1)
Obtenemos un sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas, a0, a1, a2, ...an
Ejemplo:
Supongamos que tenemos 4 pares de datos y que queremos ajustarlos al polinomiode segundo grado y=a0+a1x+a2x2
x | x0 | x1 | x2 | x3 |
y | y0 | y1 | y2 | y3 |
Las ecuaciones (1) se escribirán

agrupando términos

Volvamos al sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas. Introduzcamos las expresiones
            (2)
Se obtiene el siguiente sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas
                 (3)
Si todos los puntos son distintos, el sistema de ecuacionestiene una solución única.

Mínimos Cuadrados con Error Codificado para Filtrado Adaptivo
Se presenta el análisis de una variante del algoritmo de mínimos cuadrados para reducir la complejidad de diseño para su implementación en filtros adaptativos digitales. Dicha variante consiste en cambiar la codificación del error en el algoritmo, ya que dicho error es un valor de tipo entero. Losresultados obtenidos en las pruebas realizadas en aplicaciones de filtros adaptativos tales como predictor lineal e identificador de sistema, demuestran que la velocidad de convergencia aumenta. Esto permite que el algoritmo propuesto pueda ser aplicado en filtros adaptativos donde se requiere una velocidad de convergencia alta. Además la modificación propuesta es compatible con los filtros adaptativosexistentes, debido a que la codificación del error se puede realizar por separado.
Los filtros adaptivos son sistemas que adaptan sus parámetros de acuerdo a las variables que se presentan en su entorno y tienen una estructura como la que se muestra en la Fig. 1, en donde se puede ver, que son sistemas de cuatro terminales con una señal de entrada x, la señal deseada a la cual se quiere aproximar...