Minimos cuadrados

MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS
I.- Planteamiento

Sea el Modelo Básico de Regresión Lineal (MBRL) definido como:

Donde los parámetros β cuantifican la relación parcial de cada variable exógena Xcon la endógena Y.

Partimos de que se ha completado la etapa de especificación del modelo econométrico y son conocidos por tanto los valores de la “Y” y las “X” para la muestra temporal otransversal seleccionada. Se plantea ahora la siguiente pregunta ¿cómo obtener una buena estimación de esos parámetros β a partir de los datos disponibles para “Y” y para cada una de las “X”?

II.-Estimador de Mínimos Cuadrados Ordinarios

Uno de los procedimientos más conocidos es el denominado Estimador de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO). Este procedimiento plantea utilizar, como estimaciónde los parámetros, aquella combinación de β1, β2,…… βk que minimice los errores que el modelo cometerá. ¿Qué significa esto?. Está claro que, si dispusiéramos a priori de los parámetros estimadospodríamos escribir el MBRL NO como:

sino como:

y, por tanto, podríamos computar el error o residuo que el modelo comete en la estimación de cada valor de la endógena comparando, de formainmediata, el valor real de la endógena en cada observación con el valor estimado:

Este error dependería, evidentemente, del valor asignado a las estimaciones de los parámetros β; pues bien, el método deMCO sugiere utilizar aquella combinación de parámetros estimados que minimice la suma al cuadrado de todos los errores cometidos para las “n” observaciones disponibles:

Para obteneralgebraicamente una expresión de cálculo operativa para los estimadores MCO, procedemos de la siguiente forma:

Desarrollo 1:

Derivación NO MATRICIAL de la expresión de los estimadores MCO

* Laexpresión a minimizar es:

* Para obtener los valores de cada uno de los “k” parámetros que minimizan esta expresión derivamos con respecto a cada uno de ellos e igualamos a cero, obteniendo “k”...