Minimos Cuadrados

NUBES DE PUNTOS. CORRELACIÓN Éstas son las notas de 12 estudiantes en Matemáticas y en Física: Alumno a b c d e f g h i j k l

Es una distribución bidimensional porque a cada individuo le corresponden los valores de dos variables. Si tomamos esos dos valores como las coordenadas de un punto, la distribución puede ser representada mediante 12 puntos: nube de puntos. Se aprecia una relación entrelas dos variables: a mejor nota en Matemáticas mejor nota en Física, pero solo a grandes rasgos, grosso modo. Se dice que existe correlación entre esas dos variables. Relacionemos ahora las notas de Matemáticas de los mismos alumnos con las de otra asignatura, Filosofía. Tanto si nos fijamos en la tabla de datos como en la nube de puntos, apreciamos que también hay correlación entre estas dosvariables, pero es más débil que la anterior. Una jugadora de baloncesto lanza a canasta, desde distintas distancias, 10 balones cada vez. Lógicamente, encesta más cuanto más cerca está. En este caso hay correlación fuerte y negativa, pues al aumentar una variable tiende a disminuir la otra. La tendencia a variar conjuntamente las dos variables en una distribución bidimensional se marca mediante larecta de regresión. Cuanto más próximos estén los puntos a la recta, más fuerte es la correlación. MEDIDA DE LA CORRELACIÓN Hemos visto que la correlación entre dos variables (más o menos fuerte, positiva o negativa) se aprecia mediante el grado de apertura de los puntos de la nube. Vamos a confeccionar una fórmula que sirva para obtener su valor de forma numérica e inequívoca. Centro de gravedadde una distribución bidimensional MEDIA DE LA VARIABLE MEDIA DE LA VARIABLE El punto se llama centro de gravedad de la distribución. Covarianza Correlación El coeficiente de correlación, r, tiene las siguientes propiedades: No tiene dimensiones. Es decir, no depende de las unidades en las que se expresan los valores de las dos variables. Por tanto, si se realiza un cambio de unidades, el valor de rno varía. El valor de r está comprendido entre −1 y 1. 1

• Si la correlación es perfecta (puntos de la nube alineados), entonces | r | = 1, es decir, r = 1 ó r = −1. • Si la correlación es fuerte, | r | es próximo a 1. • Si la correlación es débil, | r | es próximo a 0. EJERCICIOS RESUELTOS

2 1 4 1 2 3 3 9 9 9 4 2 16 4 8 4 4 16 16 16 5 4 25 16 20 6 4 36 16 24 6 6 36 36 36 7 4 49 16 28 7 649 36 42 8 7 64 49 56 10 9 100 81 90 10 10 100 100 100 72 60 504 380 431 Utilizando la fórmula anterior, calcular la correlación entre las variables nota en Matemáticas, x, nota en Física, y. Para ello, calcular previamente El centro de gravedad es el punto (6,5). Observamos que este punto no tiene por que ser de le distribución. Por tanto, Es una correlación muy alta.

Método de los mínimoscuadrados Partimos de la nube de puntos . Hemos de encontrar la recta que mejor se ajuste a la nube. ¿Qué criterio seguimos para ese mejor ajuste? Consideramos todas las posibles rectas y =A+Bx y nos quedaremos con aquella para la cual los cuadrados de las distancias, , sumen lo menos posible: mínimo. De ese modo se llega (utilizando métodos matemáticos superiores a este curso) a lo siguiente: • Larecta buscada pasa por el centro de gravedad de la distribución. • Su pendiente es El signo del coeficiente de correlación y el del coeficiente de regresión coinciden, pero aquí termina la 2

coincidencia: puede ser que la recta de regresión tenga pendiente alta y, sin embargo, el coeficiente de correlación sea bajo. O al contrario. EJERCICOS RESUELTOS

1. En la distribución Notas deMatemáticas−Notas de Física, cuyos parámetros hemos calculado en la página anterior, obtener la recta de regresión de Y sobre X. • Pendiente: • Ecuación:

La recta de regresión para hacer estimaciones La recta de regresión se amolda a la nube de puntos y describe, a grosso modo, su tendencia. Por eso, a partir de la recta de regresión obtenemos, de forma aproximada, el valor esperado de y para un...