minimos Cuadrados

Páginas: 7 (1555 palabras) Publicado: 14 de agosto de 2013
MODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU
APLICACIÓN EN PROBLEMAS DE INGENIERÍA 1
Claudia Minnaard
Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional de Lomas de Zamora
Universidad CAECE
Buenos Aires. Argentina.
minnaard@uolsinectis.com.ar
RESUMEN
Habitualmente el tratamiento de la regresión se limita al caso lineal. En muchos casos esto puede
ser suficiente pero en otros no. Seránecesario probar la linealidad de la curva de regresión, dicha
prueba se puede obtener por el método de análisis de la variancia.
En el presente trabajo se describe la aplicación de modelos lineales y no lineales en problemas de
ingeniería, utilizando el software XLStat. Asimismo se describe el intervalo de confianza para el
coeficiente de regresión en el modelo lineal, para la ordenada al origen ypara la imagen a través
de la recta. En el caso de los modelos no lineales se prueba la bondad del ajuste realizado a través
de las pruebas específicas.
La correcta elección de un modelo adecuado, que describa los datos en problemas de ingeniería,
proporciona elementos de juicio suficientes para la toma de decisiones en condiciones de
incertidumbre.
Palabras clave: regresión lineal,regresión no lineal, mejor ajuste, método de mínimos cuadrados

INTRODUCCIÓN
En el análisis de regresión2 una de las dos variables, que llamamos X, puede considerarse como
variable ordinaria, es decir se puede medir sin error apreciable. La otra variable Y, es una variable
aleatoria. A X se la llama variable independiente (algunas veces variable controlada) y nuestro
interés es la dependencia de Y entérminos de X.
Supongamos que en cierto experimento aleatorio tratamos de manera simultánea dos variables,
una variable ordinaria X y una variable aleatoria Y. Efectuamos el experimento de tal manera que
1

Trabajo aceptado para ser presentado en forma oral en el IICaim –Segundo Congreso Argentino de Ingeniería Mecánica.
San Juan, Argentina. Noviembre 2010
2
Este término lo sugirió laobservación de Galton que en promedio los hijos de padres altos no son tan altos como sus
padres y los hijos de padres bajos no son tan bajos como sus padres, así que existe la tendencia a regresar hacia la media.
El término correlación fue también propuesto por Galton (Proceedingd of the Royal Society of London, 45, 1888). En:
http://rspl.royalsocietypublishing.org/content/by/year/1888

20 seleccionamos primero n valores x1, x2,......... xn de X y luego para cada
....,

x j obtenemos un valor

observado y j de Y. Entonces, tenemos una muestra de n parejas de valores:

(x1, y1),(x2 , y2 ),........ .,(xn , yn )
..........
Podemos graficar las n parejas como puntos del plano.
Nuestro objetivo es hallar alguna función que describa aproximadamente el diagrama de puntosanterior, en el rango considerado de la variable X.
A tal efecto en primer lugar elegimos una clase de funciones de donde seleccionaremos alguna
función apropiada.
Las clases de funciones más utilizadas son las siguientes:
i)

Polinomiales
a) Lineales

f ( x, a ) = a 0 + a1 x

a = (a 0 , a1 )

b) Cuadráticas

f (a, x) = a 0 + a1 x + a1 x 2
c)

a = (a 0 , a1 , a 2 )

En general degrado menor o igual a m

f (a, x) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + ......... + a m x m a = (a 0 , a1 , a 2 ,..........., a m )
ii) Potenciales

f ( x, a ) = a 0 .x a1

a = (a 0 , a1 )

iii) Exponenciales

f ( x, a ) = a 0 .(a1 ) x
iv) Logarítmicas

f ( x, a ) = a 0 + a1 ln x

a = (a 0 , a1 )

a = (a 0 , a1 )

21

Ya elegida la clase de funciones C = { f ( x, a ) / a ∈ A ⊆ ℜ } nos faltadeterminar en la
misma alguna que describa los valores dados. Para realizar tal propósito necesitamos un criterio,
utilizaremos aquí el llamado método de mínimos cuadrados. Diversos autores (Sotomayor et al.
(2002); Mendenhall et al. (2004), García (2004), Montgomery el al. (2002)) describen el método.
n

Sea f ( x, a ) una función cualquiera de la clase C . Graficando:(Gráfico 1)...
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