Minimos cuadrados

Elaborado por: Rodríguez Jiménez Jesús Enrique Introducción

El significado de mínimos cuadrados consiste en obtener la recta que ajuste a una serie de datos numéricos, con la condición que la suma de los cuadrados de los residuos sea la mínima posible. Entendiendo por residuos la distancia vertical del punto ajustado al punto real, como se muestra en las siguientes figuras:

Como se ve enlas figuras anteriores, la estrategia más apropiada en estos casos es la de obtener una función apropiada que ajuste "adecuadamente" el comportamiento o la tendencia general de los datos, sin coincidir necesariamente con cada punto en particular, como se ve en la tercer figura, donde una línea recta que puede usarse en la caracterización de la tendencia de los datos sin pasar sobre ningún punto enparticular.

Una manera de determinar la línea, es inspeccionar visualmente los datos graficados y luego trazar la "mejor" línea a través de los puntos. Aunque este enfoque recurre al sentido común y es válido para cálculos "a simple vista" es deficiente ya que es arbitrario. Es decir, a menos que los puntos definan una línea recta perfecta (en cuyo caso la interpolación sería apropiada), cadaanalista trazará rectas diferentes.

La manera de quitar esta subjetividad es usar un método, lo cual puede utilizarse una curva (por ejemplo una parábola) que minimice la diferencia entre los datos y la curva, este concepto se conoce como regresión con mínimos cuadrados lineales.
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Elaborado por: Rodríguez Jiménez Jesús Enrique Fundamentos Matemáticos

El método más simple de ajustar unacurva a un conjunto de datos es el de trazar los puntos y unirlos con una línea recta. Aunque esta es una alternativa válida y se utiliza cuando se requiere hacer estimaciones rápidas, los resultados son dependientes, desde un punto de vista subjetivo, de la persona que traza la recta. Para quitar esta dependencia se usa la regresión lineal o mínimos cuadrados. El ejemplo más simple de unaaproximación por mínimos cuadrados es el ajuste de una línea recta a un conjunto de parejas de datos observados: (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn).

La expresión matemática de una línea recta es: y = Ax + B + r

De donde A y B son coeficientes que representan la intersección con el eje de las abscisas y la pendiente, respectivamente y "r" es el error o residuo entre el modelo y las observaciones,que se puede representar. Para deducir las fórmulas del ajuste lineal, partiremos de la siguiente tabla que representa una serie de datos en forma generalizada. x y x1 y1 x2 x2 ... ... xj yj x(n-1) y(n-1) xn yn

Lo que se desea es encontrar las constantes A y B de la ecuación general de la recta: y = Ax + B Es útil definir la función:

que es una medida de la desviación total de los valoresobservados yi respecto de los predichos por el modelo lineal a x + b. Los mejores valores de la pendiente a y la ordenada al origen b son aquellos que minimizan esta desviación total.

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Elaborado por: Rodríguez Jiménez Jesús Enrique

Desarrollando los términos del paréntesis:

Para hallar el mínimo:

Esto se transforma en el siguiente sistema de ecuaciones con a y b como incógnitas adeterminar:

La solución de este sistema será:

Con este método podemos relacionar magnitudes físicas a través de su determinación experimental. Pero en muchos casos podemos sospechar que la relación no es lineal; por ejemplo, podría ser del tipo exponencial: y = beax El criterio de mínimos cuadrados reemplaza el juicio personal de quien mire los gráficos y defina cuál es la mejor recta. En losprogramas como Excel, Origin, etc., este cálculo se realiza usando la herramienta “regresión lineal” o “ajuste lineal”. Los resultados (a) y (b) se aplican en el caso lineal cuando todos los datos de la variable dependiente tienen la misma incertidumbre absoluta y la incertidumbre de la variable independiente se considera despreciable
Coeficiente de correlación:

Existe un parámetro que nos...