minimos cuadrados
Páginas: 3 (664 palabras)
Publicado: 16 de septiembre de 2014
Prof. Miguel Hesiquio. Departamento de Ingeniería Química Petrolera. ESIQIE
El Método de Mínimos Cuadrados
Cuando se tiene un conjunto de datos provenientes de un experimento, es necesarioencontrar una función
que represente el comportamiento de dichos datos (un modelo matemático). Para ello se aplica el método de
Mínimos Cuadrados.
Se requiere un conjunto de datos (xi ,yi
)
y unafunción teórica de ajuste (yic), aplicando el formalismo
general de mínimos cuadrados, se requiere que la sumatoria de los cuadrados de los residuos (yi –yic) sea
mínima.
n
S
( yi
ˆ
yi )2
mín
i 1
Para proponer el modelo funcional adecuado, lo primero es graficar a las variables dependiente e
independiente. Y al aplicar el método, se busca calcular las constantes de laecuación que representa al
modelo matemático, así con las constantes calculadas se puede obtener un conjunto de datos calculados en
función de la variable dependiente.
Modelo:Por determimar
14
1210
y
8
6
Experimental
4
2
0
0
20
40
60
80
100
x
Para el caso de una Recta
Si proponemos que el modelo sea la ecuación de una recta:
como
n
S
( yi
i 1
ˆyi ) 2
n
( yi
i 1
(a bxi ))2
mín
ˆ
yi
a bxi , el
formalismo general queda
Prof. Miguel Hesiquio. Departamento de Ingeniería Química Petrolera. ESIQIE
Los pares (xi,yi)son los datos dados experimentales, Dado que la idea es minimizar a la función S, y la
intención es encontrar las constantes a,b, entonces
S
f (a, b)
Derivando la ecuación, empleandoderivadas parciales,
dS
da
dS
db
2
( yi a bxi )( 1)
2
( yi a bxi )( xi )
2
( yi a bxi )( 1) 0
b cte
2
( yi xi axi bxi2 ) 0
a cte
(1)
(2)
Los resultados de lasderivadas parciales forman un sistema de ecuaciones. Sin embrago, primero deberemos
simplificar las sumatorias (1) y (2)
2
( yi a bxi )( 1) 0
2
( yi xi axi bxi2 ) 0
Que se simplifican...
El Método de Mínimos Cuadrados
Cuando se tiene un conjunto de datos provenientes de un experimento, es necesarioencontrar una función
que represente el comportamiento de dichos datos (un modelo matemático). Para ello se aplica el método de
Mínimos Cuadrados.
Se requiere un conjunto de datos (xi ,yi
)
y unafunción teórica de ajuste (yic), aplicando el formalismo
general de mínimos cuadrados, se requiere que la sumatoria de los cuadrados de los residuos (yi –yic) sea
mínima.
n
S
( yi
ˆ
yi )2
mín
i 1
Para proponer el modelo funcional adecuado, lo primero es graficar a las variables dependiente e
independiente. Y al aplicar el método, se busca calcular las constantes de laecuación que representa al
modelo matemático, así con las constantes calculadas se puede obtener un conjunto de datos calculados en
función de la variable dependiente.
Modelo:Por determimar
14
1210
y
8
6
Experimental
4
2
0
0
20
40
60
80
100
x
Para el caso de una Recta
Si proponemos que el modelo sea la ecuación de una recta:
como
n
S
( yi
i 1
ˆyi ) 2
n
( yi
i 1
(a bxi ))2
mín
ˆ
yi
a bxi , el
formalismo general queda
Prof. Miguel Hesiquio. Departamento de Ingeniería Química Petrolera. ESIQIE
Los pares (xi,yi)son los datos dados experimentales, Dado que la idea es minimizar a la función S, y la
intención es encontrar las constantes a,b, entonces
S
f (a, b)
Derivando la ecuación, empleandoderivadas parciales,
dS
da
dS
db
2
( yi a bxi )( 1)
2
( yi a bxi )( xi )
2
( yi a bxi )( 1) 0
b cte
2
( yi xi axi bxi2 ) 0
a cte
(1)
(2)
Los resultados de lasderivadas parciales forman un sistema de ecuaciones. Sin embrago, primero deberemos
simplificar las sumatorias (1) y (2)
2
( yi a bxi )( 1) 0
2
( yi xi axi bxi2 ) 0
Que se simplifican...
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