Minimos cuadrados

MINIMOS CUADRADOS: UN EJEMPLO SENCILLO
Por lo general cuando realizamos un experimento siempre nos preocupamos por hacer una buena toma de los valores de una medida, pues perseguimos alguno de los siguientes objetivos: determinar una ley experimental entre las variables analizadas comprobar una ley experimental previamente supuesta entre las variables involucradas Un problema posterior a la tomade estos datos es determinar la relación funcional entre las variables como resultado del experimento. Supongamos que tenemos dos variables, x e y, y que por razones teóricas bien fundadas sabemos que entre x e y existe la relación lineal. y=ax+b (1)

y deseamos determinar los parámetros a y b a partir de n medidas de x e y. a es la pendiente de la recta, es decir, la tangente del ángulo queforma con el eje de abscisas, y b la ordenada en el origen, es decir la altura a la que corta la recta al eje de las ordenadas. Para concretar, se realiza el siguiente experimento: Se desea analizar la capacidad que tiene un limón ácido para generar energía cuando se le pone dos electrodos de material diferente al mismo. Para ello se dispone de 5 diferentes tipos de limón, cada uno de ellos condiferentes concentraciones de ácido cítrico, se hacen dos tipos de experimentos, para una misma clase de limón se analiza la cantidad de voltaje generado con uno, dos y así hasta cinco conectados en serie (ver tabla 1) y luego se analiza la cantidad de energía generada por cada limón y su concentración de ácido (tabla 2). Tabla 1: Energía generada por los limones acoplados en serie

Por: RandallFigueroa Mata

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Cantidad de Limones Tipo 1 1 2 3 4 5

voltaje V (V) 0,85 1,68 2,50 3,40 4,20

Cantidad de Limones Tipo 2 1 2 3 4 5

voltaje V (V) 0,52 0,95 1,45 2,00 2,45

Cantidad de Limones Tipo 3 1 2 3 4 5

voltaje V (V) 0,94 1,85 2,80 3,74 4,68

Tabla 2: Energía generada por los diferentes limones según su concentración de ácido Limón tipo 1 Cantidad Concentración de C limones(M) 1 0,52 2 1,02 3 1,52 4 2,05 5 2,60 Limón tipo 2 Cantidad Concentración de C limones (M) 1 0,95 2 1,90 3 2,85 4 3,80 5 4,75

Voltaje V (V) 0,45 0,89 1,15 1,35 1,45

Voltaje V (V) 0,700 1,200 1,500 1,650 1,680

Ante un problema de este tipo, lo primero que conviene hacer es representar gráficamente los resultados para observar si los valores medidos se aproximan a una recta o no. En lafigura 1 se han representado las medidas de la columna 1 y 2 de la Tabla 1.

Por: Randall Figueroa Mata

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4.5 4 3.5 voltaje V (V) 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 1 2 3 4 5 6 cantidad de limones C V = 0,842 C R2 = 0,9997

Figura 1: Energía generada por los limones acoplados en serie A la vista del gráfico parece claro que las dos variables siguen una relación lineal. La recta que parece representarmejor la relación se ha dibujado ``a ojo''. Es importante darse cuenta de que los cinco puntos dibujados no pasan todos por la misma recta. Esto es debido a los errores de las medidas, por lo que los puntos se distribuyen de forma más o menos aleatoria en torno a esa recta. A pesar de ello es claramente visible la tendencia lineal de los puntos. Para determinar la recta que mejor se adapta a lospuntos se emplea el llamado método de los mínimos cuadrados. Para un valor de x determinado, la recta de ajuste proporciona un valor diferente de y del medido en el experimento. Esta diferencia será positiva para algunos puntos y negativa para otros, puesto que los puntos se disponen alrededor de la recta. Por este motivo, la suma de estas diferencias para todos los puntos es poco significativa (lasdiferencias negativas se compensan con las positivas). Por ello, para medir la discrepancia entre la recta y los puntos, se emplea la suma de los cuadrados de las diferencias, con los que nos aseguramos de que todos los términos son positivos. Esta suma tiene la forma:

Por: Randall Figueroa Mata

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(2) De todas las posibles rectas que podemos trazar, caracterizadas por los parámetros a...