Minimos y maximos

Titulo: MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA

FUNCIÓN
Año escolar: MATEMATICA 1

El autor de este trabajo solicita su valiosa colaboración en el sentido de enviar cualquier sugerencia y/o recomendación a la siguiente dirección :

MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN
Antes de abordar este aspecto, es bueno recordar cómo encontrar la recta tangente a una función con la utilización de la derivada primera yque significado gráfico tiene el signo de la pendiente de dicha recta.

La FIGURA 1 presenta la parábola f(x) = X2 – 4X + 5 y un segmento de la recta tangente en (3,2)
12

10

8

Ejemplo 1 : Encuentre la recta tangente a la parábola f(x) = X2 – 4X + 5
en el punto (3,2).

6

Y = 2X – 4
4

Solución: Inicialmente se calcula la derivada primera de la
función f(x) = X2 – 4X + 5

2f´(x) = 2X – 4
para calcular la pendiente de la recta tangente solo debemos introducir el valor de X del punto señalado en la ecuación de la derivada primera. Como X = 3 en dicho punto: f´(3) = 2(3) – 4 ; f´(3) = 6 – 4 ; f´(3) = 2

0 -2 -1 -2 0 1 2 3 4 5 6 7

-4

FIGURA 1

Ejemplo 2 : Encuentre la recta tangente a la parábola f(x) = X2 – 4X + 5
en el punto (1,2).

Así, la rectatangente en (3,2) tiene pendiente 2. De la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta, y – y1 = m(x – x1), se obtiene : y – 2 = 2(x – 3) : y – 2 = 2x – 6 ;

Solución: Inicialmente se calcula la derivada primera de la
función f(x) = X2 – 4X + 5

Y = 2X – 4

f´(x) = 2X – 4
para calcular la pendiente de la recta tangente solo debemos introducir el valor de X del punto señalado en laecuación de la derivada primera. Como X = 1 en dicho punto: f´(1) = 2(1) – 4 ; f´(1) = 2 – 4 ; f´(1) = – 2

El hecho de que la pendiente de una recta tenga signo positivo (m>0) significa que está inclinada hacia arriba en sentido anti horario con respecto al eje horizontal (eje x) como se muestra en la figura siguiente:

Máximos y mínimos de una función

Ing. José Luis Albornoz Salazar - 1 -Así, la recta tangente en (1,2) tiene pendiente – 2 . De la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta, y – y1 = m(x – x1), se obtiene : y – 2 = – 2(x – 1) : y – 2 = – 2x + 2 ;

DEFINICIÓN DE NÚMERO CRÍTICO : Si “c” es un número del dominio de la función “ f ”, y si f´(c) = 0 o f´(c) no existe, entonces “c” es un número crítico de “ f ”.
El hecho de que la pendiente de una recta sea igual acero (m=0) significa que es paralela al eje horizontal (eje x). Una recta tangente con pendiente igual a cero señala un “punto crítico” de la función estudiada. Las consideraciones anteriores nos indican que para determinar uno o más puntos donde pudiera existir un máximo o un mínimo relativo de una función, es necesario calcular su primera derivada e igualarla a cero (así calculamos el valor de“x” en donde la pendiente de la recta tangente es igual a cero).

Y = – 2X + 4

El hecho de que la pendiente de una recta tenga signo negativo (m0). Para estudiar la pendiente de la recta tangente cuando x = 1 , sustituyo este valor en la ecuación de la derivada primera f´(x) = – 2X

Posteriormente calculamos la pendiente de la tangente después del número crítico, puede ser en x = 1 en estecaso y la graficamos sobre la recta anterior (como dió negativo “ – 2 “ debemos recordar lo enunciado en la pág. 2)

f´(1) = – 2(1)

;

f´(1) = – 2

–1

0

1

Esto nos indica que después del punto crítico la pendiente de la recta tangente es negativa (m0).

Solución: Inicialmente se calcula la derivada primera de la
función f(x)

f´(x) = 3X2 – 3
Los números críticos son aquellosdonde la derivada primera es igual a cero o no existe. 3X2 – 3 = 0 ; 3X2 = 3 ; X2 = 3/3 ; X2 = 1 ; X = ± 1 Esto significa que existen dos números críticos, es decir cuando X=1 y cuando X = – 1 Estudiamos el punto donde X = – 1 : Para calcular el punto de la función donde X = – 1, introduzco este valor en la ecuación de dicha función: f(x) = X3 – 3X ; f(– 1) = (– 1)3 – 3(– 1) ; f(– 1) = – 1 +...