Mirley GU A DE ESTUDIO No 1 C LCULO DIFERENCIAL

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA
ÁREA DE MATEMÁTICAS
GUIA No. 1
2015-2
Dependencia: Facultad de Ciencias
Empresariales y Económicas

Asignatura: Cálculo Diferencial

INTERVALOS
Subconjunto de los números reales y se clasifican en finitos e infinitos.
Finitos
 Abierto
Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, excluyendo a y b,
simbólicamente (𝑎 , 𝑏) = {𝑥 𝜖 𝑅 / 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}
Gráficamente-∞

∞

a

b

 Cerrado
Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, incluyendo a y b,
simbólicamente [𝑎 , 𝑏] = {𝑥 𝜖 𝑅/ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
Gráficamente
-∞

∞

a

b

 Semi-abierto o semi-cerrado
(a , b] = {x 𝜖 𝑅/ a < x ≤ b}

[a , b) = {x 𝜖 𝑅/ a ≤ x < b}

-∞

∞

a

b

-∞

∞

a

b

Intervalos Infinitos:
(a,∞) = {x 𝜖 𝑅/ x > a}

-∞

∞

a

[a,∞) = {x 𝜖 𝑅/ x ≥ a}

-∞

∞

a

(-∞, a) = {x 𝜖 𝑅/ x
-∞

∞

a

(-∞, a] = {x 𝜖 𝑅/ x ≤ a}

-∞

∞

a

Ejercicios 1

1. Escriba la desigualdad correspondiente a cada intervalo y dibuje su gráfica
(1,3)

(0,3]

[-0.5, 4.5)

(− 3 , 5]

2

[-1,∞)

(-∞,2)

3 7

(5 , ∞)

[− 4 , 2)

2

Desigualdades
Proposiciones tales como 𝑎 < 𝑏, 𝑎 > 𝑏, 𝑎 ≥ 𝑏 𝑜 𝑎 ≤ 𝑏, se llaman desigualdades. En
particular, 𝑎 > 𝑏 y 𝑎 < 𝑏 son desigualdades estrictas. La solución de unadesigualdad en una
variable es el conjunto de todos los valores de la variable para los cuales la desigualdad es
una proposición verdadera.
Propiedades.



Cuando el mismo número real se suma o se resta a ambos lados de una desigualdad,
el sentido de la desigualdad no se altera.
El sentido de la desigualdad se preserva si ambos lados se multiplican (o dividen) por
el mismo número positivo y seinvierte cuando se multiplican (o dividen) por el
mismo número negativo.

Desigualdades lineales
Ejemplo 1.

2x  5
 x 1
3
2 x  5  3 ( x  1)
2 x  5  3x  3
 5  3  3x  2 x
8  x
x  8
Solución: (- 8, + ∞)
(
-8

Ejemplo 2.
2  3  3x  7
Primercaso
2  -3 - 3x

Segundo caso
3  3x  7

3x  -3 - 2
3x  -5
5
x3

-3  7  3x
3x  4
4
x
3

Solución: ( 53 , 43 ]
(

]

Ejemplo 3.
1
2x  2  14 x  3

1
2

x  14 x  3  2

1
4

x 1

x4
Solución: (-∞, 4]

]
4

Desigualdades Cuadráticas
Ejemplo 4.

x 2  4x  3  0
Factorando
(x - 3) (x - 1)  0
(x - 3)(x - 1)  0

Igualando a cero

Luego, x = 3 y x = 1
Estos valores dividen a la recta real en tres intervalos: (−∞, 1]; [1,3]; [3, ∞)
Tomando puntos de prueba dentro de cada intervalo y remplazando en la desigualdad,
obtenemosque para x=0 y para x = 4 la desigualdad no se cumple, mientras que para x = 2,
si, luego el intervalo solución es:
Solución: [1, 3]

[
1

]
3

EJERCICIOS: resolver las siguientes desigualdades
1. −7 < 2𝑥 + 1 < 19
2. −5 ≤ 𝑥 − 3 ≤ −3
3. −1 <

3−7𝑥
4

1

1

<6
3

4. 2 ≤ 2𝑥 − 2 ≤ 4
5. 𝑥 2 + 2𝑥 − 15 > 0
6. 3𝑥 2 + 2𝑥 − 5 ≤ 0
7. 8𝑥 2 − 22𝑥 + 15 ≥ 0
8. 𝑥 2 + 9𝑥 + 20 < 0
9.

2𝑥+3
𝑥+2

>0

𝑥+5

10.(𝑥−4)(𝑥−3) ≤ 0
RELACIÓN Y FUNCIÓN
Se define como relación o correspondencia R entre los conjuntos A y B, a un subconjunto
del producto cartesiano A x B, compuesto por pares de elementos que cumplen cierta regla

definida. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios, todos o ninguno de los
que forman parte de A x B, por lo tanto:

Ejemplo:
Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} , B = {1, 3, 5, 6} yla relación R definida como
“mayor que” que vincula elementos de A con los de B (en ese orden)
Forma implícita:
R = {(x, y)  AxB / x  y}
Forma explícita:
R = {(2,1); (3,1); (4,1); (4,3); (5,1); (5,3)}

El conjunto de pares ordenados que forman parte de R está compuesto por un elemento del
primer conjunto y un elemento del segundo conjunto en ese orden y además satisfacen la
condición que defineesa relación. Se dice que:
Elementos de una relación
x

R

y

o

( x, y )

 R

Volvamos al ejemplo anterior:
El conjunto A es el conjunto Inicial o conjunto de Partida. Los elementos de A que forman
parte de la relación son el primer componente de las parejas; en el diagrama de flechas es el
de donde parten las flechas.
El conjunto B es el conjunto Final o conjunto de Llegada. Los...

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