mis ingenios

Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia decuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados,y recíprocamente.
Factor común: El resultado de multiplicar un binomio a+b por un término c se obtiene aplicando lapropiedad distributiva:
c⋅(a+b)=c⋅a+c⋅bEn la figura adjunta se observa que área del rectángulo es c(a+b), es decir, el producto de la base a+b por la altura c, y también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: ca y cbEjemplo:
3(4+6)=12+18
Cuadrado de un binomio:Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:
(a+b)2=a2+2ab+b2
La expresión siguiente: a2+2ab+b2 se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la igualdad que se obtiene es:
(a−b)2=a2−2ab+b2
Ejemplo:
(2x−3y)2=(2x)2−2(2x)(3y)+(3y)2
Simplificando:(2x−3y)2=4x2−12xy+9y2
Producto de binomios con término común:
Dos binomios con un término común:
Para efectuar un producto de dos binomios con término común se tiene que identificar el término común, en este caso x, luego se aplica la fórmula siguiente:
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+abEjemplo:
(x+4)(x−7)=x2−3x−28
(2y−1)(2y−3)=(2y)2+(−1−3)(2y)+((−1)(−3))=4y2−8y+3
Tres binomios con término comúnFórmula general:
(x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+ca+cb)x+abcBinomios con término común
Fórmula general:
(x+a1)⋅⋯⋅(x+an)=xn+(a1+⋯+an)xn−1+((a1a2+a1a3+…a1an)+(a2a3+⋯+a2an)+⋯+(an−1an))xn−2+…(a1⋅⋯⋅an)
xn + (suma de términos no comunes agrupados de uno en uno)xn-1 + (suma de términos no comunes agrupados de dos en dos)xn-2 +… + (producto del número de términos).
Producto de dos binomios conjugadosDos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.
(a+b)(a−b)=a2−b2
Ejemplo:(3x+5y)(3x−5y)=
(3x)(3x)+(3x)(−5y)+(5y)(3x)+(5y)(−5y)
Agrupando términos:
(3x+5y)(3x−5y)=9x2−25y2
A este productonotable también se le conoce como suma por la diferencia.En el caso (p−a+b+c)=(p−a−b−c)=(p−a)2−(b+c)2,1 aparecen polinomios.
Cuadrado de un polinomio
Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
Ejemplo:
(3x+2y−5z)2=(3x+2y−5z)(3x+2y−5z)
Multiplicando los monomios:
(3x+2y−5z)2=3x⋅3x+3x⋅2y+3x⋅(−5z)
+2y⋅3x+2y⋅2y+2y⋅(−5z)
+(−5z)⋅3x+(−5z)⋅2y+(−5z)⋅(−5z)
Agrupando términos:
(3x+2y−5z)2=9x2+4y2+25z2+2(6xy−15xz−10yz)
Luego:
(3x+2y−5z)2=9x2+4y2+25z2+12xy−30xz−20yz
Romper moldes
x(x+1)(x+2)(x+3)+1=(x2+3x+1)2.2Cubo de un binomio
Para calcular el cubo de un binomio sesuman, sucesivamente:
El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
El cubo del segundo término.
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
Identidades de Cauchy:
(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)
Ejemplo:
(x+2y)3=x3+3(x)2(2y)+3(x)(2y)2+(2y)3
Agrupando términos:
(x+2y)3=x3+6x2y+12xy2+8y3
Si la operación del binomioimplica resta, el resultado es:
El cubo del primer término.
Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
Menos el cubo del segundo término.
(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
Identidades de Cauchy:
(a−b)3=a3−b3−3ab(a−b)
Ejemplo:
(x−2y)3=x3−3(x)2(2y)+3(x)(2y)2−(2y)3
Agrupando términos:
(x−2y)3=x3−6x2y+12xy2−...