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Números reales
Los números reales son sólo números como:
1
12.38
-0.8625
3/4
√2
1998
De hecho:
Casi todos los números que se te ocurran son números reales
Los números reales incluyen:

Los números enteros (Como 1,2,3,4,-1, etc.)

Los números racionales (como 3/4, -0.125, 0.333..., 1.1, etc.)

Los números irracionales (como π, √3, etc.)
Los números reales pueden ser positivos,negativos o cero.
Entonces... ¿qué números NO son reales?

√-1 (la raíz cuadrada de menos 1) no es un número real, es un número imaginario

Infinito no es un número real
Y también hay otros números especiales que los matemáticos usan y que no son números reales

¿Por qué se llaman números "reales"?
Porque no son números imaginarios.
¡Esa es la respuesta verdadera!
Real no quiere decirque aparezcan en el mundo real

No se llaman "reales" porque muestren valores de cosas reales.
En matemáticas nos gusta que los números sean puros y exactos, si escribimos 0.5 queremos decir exactamente una mitad, pero en el mundo real una mitad puede no ser exacta (prueba a cortar una manzana exactamente por la mitad).
Conjuntos numéricos
1)  N = Conjunto de los Números Naturales
N = { 1, 2,3, 4, 5, 6, 7,.......}
El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.
Este conjunto se caracteriza porque:
Tiene un número ilimitado de elementos
Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.

El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restandouno (-1).
2) N* = N0 = Conjunto de los Números Cardinales
N 0 =  { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....}
Al Conjunto de los Números Naturales se le agregó el 0 (cero) y se forma el Conjunto de los Números Cardinales.
3) Z  =  Conjunto de los Números Enteros
Z =   { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, puescuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 =  ¿?). Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distanciadel cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él).
Z = N*  U Conjunto de los Números Enteros negativos
Z = Tiene 3 Subconjuntos:
Enteros Negativos: Z ¯
Enteros Positivos:  Z +
Enteros Positivos y el Cero:  Z 0+
Por lo tanto, el Conjunto de los Números Enteros es la unión de los tres subconjuntos mencionados.
                             Z  =  Z ¯  U  {0}  U  Z +
4) Q = Conjunto delos Números Racionales
Q  = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}
El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los Números Naturales, Números Cardinales y Números Enteros. Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los Números Enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Parasolucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma a / b. Esta fracción en la cual el numerador es a, es un número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero. (Ver: Fracciones)
El conjunto de los Números Racionales (Q ) se ha construido a partir del conjunto de los Números Enteros (Z). 
Se expresa por comprensión como:Q  =  {  a / b  tal que  a y b    Z; y  b    0 }
Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión. 
Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas...