Mis Trabajos

PLANTEAMIENTO GENERAL DEL ANÁLISIS
MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
ARTICULADAS
Prof. Carlos Navarro
Departamento de Mecánica de Medios Continuos
y Teoría de Estructuras

Y

X

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA ARTICULADA
K’12

K’11
Esfuerzos
Nudo 1

Esfuerzos
Nudo 2

′
⎧ S x1 ⎫ ⎡ k
⎪S′ ⎪ ⎢
⎪ y1 ⎪ ⎢ 0
⎨ ′ ⎬=
⎪ S x 2 ⎪ ⎢− k
⎪S ′ 2 ⎪ ⎢ 0
⎩ y ⎭ ⎣

0 −k
0 0
0 k
0

K’21

00⎤ ⎧ u ′ 1 ⎫
x
⎪ ⎪
0⎥ ⎪ u ′y1 ⎪
⎥⎨ ⎬
0⎥ ⎪u ′ 2 ⎪
x
⎥
0⎦ ⎪u ′y 2 ⎪
⎩ ⎭

Desplazamientos
Nudo 1

Desplazamientos
Nudo 2

K’22

Llamando:

′
⎧ S x1 ⎫
{S1′} = ⎨ ′ ⎬
⎩ S y1 ⎭

′
⎧S x 2 ⎫
{S2′} = ⎨ ′ ⎬
⎩S y 2 ⎭

⎧u′1 ⎫
x
{u1′} = ⎨ ′ ⎬
⎩u y1 ⎭

⎧u′ 2 ⎫
x
{u′2 } = ⎨ ′ ⎬
⎩u y 2 ⎭

La ecuación anterior puede escribirse como:

⎧ S'1 ⎫ ⎡ K'11
⎨ ⎬=⎢
⎩S'2 ⎭ ⎣K'21
⎧ S1′ ⎫
{S ′} = ⎨ ′ ⎬
⎩S 2 ⎭

K'12 ⎤ ⎧u'1 ⎫
⎥ ⎨u' ⎬
K'22 ⎦ ⎩ 2 ⎭
⎧u1′ ⎫
{u′} = ⎨ ′ ⎬
⎩u2 ⎭

Vector de esfuerzos en los nudos
(ejes locales)

Vector de desplazamientos en los nudos
(ejes locales)

{S ′} = [K ′]{u′}
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA EN EJES LOCALES

Esta última expresión desarrollada proporciona, en ejes
locales de la barra:

y

{S ′}

{u′}

x

2

{S′}

1

{u′ }

1

2

2

1

{S ′} = [K ′ ]{u′} + [K ′ ]{u′ }
{S ′} = [K ′ ]{u′} + [K ′ ]{u′ }
1

2

11

21

1

1

12

22

2

2

TRANSFORMACIÓN DESDE EJES GLOBALES A LOCALES:
Y

x
y

X

Vector de fuerzas nodales
en coordenadas locales

Vector de fuerzas nodales
en coordenadas globales

′
⎧ S x1 ⎫ ⎡ c s 0 0⎤ ⎧ S X 1 ⎫
⎪S′ ⎪ ⎢
⎥⎪ S ⎪
⎪ y1 ⎪ ⎢ − sc 0 0 ⎥ ⎪ Y 1 ⎪
⎨ ′ ⎬=
⎨
⎬
⎪ S x 2 ⎪ ⎢ 0 0 c s ⎥ ⎪S X 2 ⎪
⎪ S ′ 2 ⎪ ⎢ 0 0 − s c ⎥ ⎪ SY 2 ⎪
⎦⎩
⎭
⎩ y ⎭ ⎣

{S ′}ejes locales = [T ] {S }ejes globales
T

Y

x
y

X

Vector de desplazamientos nodales
en coordenadas locales

Vector de desplazamientos
nodales en coordenadas
globales

⎧ u ′1 ⎫ ⎡ c s 0 0 ⎤ ⎧ u X 1 ⎫
x
⎪u′ ⎪ ⎢
⎥⎪ u ⎪
⎪ y1 ⎪ ⎢ − s c 0 0 ⎥ ⎪ Y 1 ⎪
⎨ ⎬
⎨ ′ ⎬=⎪u x 2 ⎪ ⎢ 0 0 c s ⎥ ⎪u X 2 ⎪
⎪u′ 2 ⎪ ⎢ 0 0 − s c ⎥ ⎪ uY 2 ⎪
⎦⎩ ⎭
⎩ y ⎭ ⎣

{u′}

ejes locales

= [T ] {u}ejes globales
T

Esfuerzos y desplazamientos en ejes locales en los dos nudos de la barra:

′
⎧ S x1 ⎫
{S1′} = ⎨ ′ ⎬
⎩ S y1 ⎭

′
⎧S x 2 ⎫
{S2′} = ⎨ ′ ⎬
⎩S y 2 ⎭

⎧u′1 ⎫
′} = ⎨ x ⎬
{u1
y
⎩u′ 1 ⎭

⎧u′ 2 ⎫
′} = ⎨ x ⎬
{u2
y
⎩u′ 2 ⎭

Esfuerzos y desplazamientosen ejes globales en los dos nudos de la barra:

⎧S X 1 ⎫
{S1} = ⎨ ⎬
⎩ SY 1 ⎭

⎧S X 2 ⎫
{S2 } = ⎨ ⎬
⎩ SY 2 ⎭

⎧u X 1 ⎫
{u1} = ⎨ ⎬
⎩ uY 1 ⎭

⎧u X 2 ⎫
{u2 } = ⎨ ⎬
⎩ uY 2 ⎭

En definitiva, para pasar esfuerzos y deslazamientos, en un nudo concreto
de una barra la estructura, desde ejes locales a globales o viceversa tenemos:

{S ′}

i ejes locales

{S }

= [T ] {Si }ejesglobales {ui′}ejes locales = [T ] {ui }ejes globales [T ]

i ejes globales

T

T

T

⎡ c s⎤
=⎢
⎥
⎣− s c ⎦

= [T ] {Si′}ejes locales{ui }ejes globales = [T ] {ui′}ejes locales [T ] = ⎡c − s ⎤
⎢s c ⎥
⎣

⎦

Relación entre esfuerzos en ejes locales con desplazamientos en ejes locales:

{S ′} = [K ′ ]{u′} + [K ′ ]{u′ }
{S ′} = [K ′ ]{u′} + [K ′ ]{u′ }
1

11

2

1

2112

1

22

2

2

Relación entre esfuerzos en ejes locales con desplazamientos en ejes globales:

{S ′} = [K ′ ][T ] {u } + [K ′ ][T ] {u }
{S ′} = [K ′ ][T ] {u } + [K ′ ][T ] {u }
T

1

11

T

1

12

T

2

21

2

T

1

22

2

(Esta última expresión nos será de gran utilidad cuando deseemos obtener
los esfuerzos en las barras (los cuales hay que expresaren ejes locales)
a partir de los desplazamientos de los nudos obtenidos en ejes globales)

{S ′} = [K ′ ][T ] {u } + [K ′ ][T ] {u }
{S ′} = [K ′ ][T ] {u } + [K ′ ][T ] {u }
T

1

T

11

1

12

2

T

2

21

T

1

22

2

Premultiplicando por [T]:

{S } = [T ][K ′ ][T ] {u } + [T ][K ′ ][T ] {u }
{S } = [T ][K ′ ][T ] {u } + [T ][K ′ ][T ] {u }
T

1

11...