Mis Trabajos

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Razones de cambio relacionadas
Un hombre de 2 metros de altura se aleja de una lámpara a 3.6 km/h. Si la altura de la lámpara es 5 m., sobre el piso, ¿con qué rapidez se está moviendo el punto más lejano de su sombra? Ejemplo 1

• La rapidez con la que se mueve el hombre es de 1 m/s. • Ahora formamos un triángulo rectángulo.  El cateto vertical es el poste (5m),  la hipotenusa es la trayectoria que sigue la luz que pasa por encima de la cabeza de la persona y  el otro cateto (horizontal) es la distancia entre el pie del poste y el extremo de la sombra de la persona ( L = D + x ). • Dentro de este triángulo podemos formar otro triángulo: el cateto horizontal será la altura de la persona (2 m), el cateto horizontal la longitud de la sombra que proyectala persona ( x ) y la hipotenusa la trayectoria de la sombra medida desde la cabeza de la persona hasta el punto donde toca al suelo. • Los dos triángulos así formados son semejantes. Se tienen, entonces la siguiente proporción: 5 L = 2 x

⇒

L=

5 x 2

• Donde L es ( x + D ). De aquí, x = L − D. Entonces, utilizando esta información, tenemos que : 5 5 L = x = ( L − D) 2 2 lo cual implicaque: 5 L= D 3 • De aquí, podemos encontrar dL = • Esto es: 5 (dD ) 3

dL 5 dD = dt 3 dt

• Ahora basta sustituir los valores conocidos: 5 dD dL = = dt 3 dt 5 3

(1) =

5 3

¯ • La sombra crece a razón de 1.6 metros por segundo.

Un estudiante usa un popote para sorber agua de un cono de papel, cuyo eje es vertical, a razón de 6 cm3 /s. Si la altura del cono es 10 cm., y el diámetro dela parte abierta es 6 cm., ¿con qué rapidez baja el líquido cuando la copa está llena hasta la mitad?

Ejemplo 2

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• El volumen del cono de radio r y altura h está dado por: V= 1 π r2 h 3

• De acuerdo a los datos proporcionados por el texto, debemos considerar la mitad de la capacidad del cono, esto es V = 60 π cm3 •Conocemos además la razón de decrecimiento del volumen de agua contenido en el cono, constante e igual a dV = 6 cm3 . dt • De la expresión para el volumen, podemos encontrar dV como función de dh. • Aquí debe quedar claro que usamos dh en lugar de dr, porque necesitamos encontrar cómo varía la altura cuando el cono tiene la mitad de su capacidad de agua. • Entonces, dV = • De aquí se tiene que: dV1 dh = π r2 dt 3 dt • Despejamos de esta expresión dh, y sustituyendo los valores conocidos, obtenemos el resultado buscado: dV 3 dh 3 (6) 2 = dt = = cm/s. 2 2 dt π πr π (3) • NOTA: Como sabemos que el diámetro es 6 cm, el radio debe ser la mitad, igual a 3 cm. Debes tener cuidado de no sustituir el valor del diámetro, por obvias razones. 1 π r2 (dh) 3

Ejemplo 3

Un aeroplano que vuela endirección norte a 640 mi/h., pasa sobre cierta ciudad a mediodía. Un segundo aeroplano que va en dirección oeste a 600 mi/h., está verticalmente sobre la misma ciudad 15 minutos más tarde. Si los aeroplanos están volando a la misma altura, ¿con qué rapidez se están alejando a la 1:15?

• Aquí, primero debemos encontrar a qué distancia se encuentra cada uno del punto por donde ambos aeroplanospasaron. • En una hora el primer aeroplano viaja 640 millas, en 15 minutos la cuarta parte, esto es, 160 millas. • Entonces hasta la 1:15 ya viajó 640 + 160 = 800 millas. • Por otra parte, el segundo aeroplano solamente ha avanzado durante una hora, dado que pasó 15 minutos después de las 12:00. • Entonces se encuentra a 600 millas del punto por donde ambos pasaron. • Ahora, debemos encontrar ladistancia entre ambos aeroplanos.

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• Para esto, utilizamos el teorema de Pitágoras. Esto gracias a que las direcciones de los aeroplanos son perpendiculares. Entonces: 8002 + 6002 = 640 000 + 360 000 = 1 000 000 = 10002 . • De aquí se entiende que la distancia entre los aeroplanos a la 1:15 es de 1000 millas. • Conocemos la...