MISCELANEA I PARCIAL MA1003

Universidad de Costa Rica
Facultad de Ciencias
Escuela de Matemática
Departamento de Matemática Aplicada

Práctica Miscelánea para el Primer Parcial
Funciones Vectoriales, Regla de la Cadena y Funciones Implícitas
MA 1003 Cálculo 3
Recopilado por Prof. Marco Alfaro C.

En los ejercicios 1-8 , dibujar la curva representada por la función vectorial e indicar su orientación.

−
→
−
→
→
1. −
r (t) =cos t i + 3 sen t j .
−
→
−
→
→
2. −
r (t) = 3 sec t i + 2 tan t j .
−
→
−
→
−
→
→
3. −
r (t) = t i + (2t − 5) j + 3t k .
−
→
−
→
−
→
→
4. −
r (t) = 2 cos t i + 2 sen t j + t k .
→
−
→
−
→ t−
→
5. −
r (t) = 3 cos t i + 4 sen t j + k .
2
→
−
→
−
→ 3 −
→
6. −
r (t) = t2 i + 2t j + t k .
2
2
→
7. −
r (t) = t, t2 , t .
3
→
8. −
r (t) = (cos t + t sen t, sen t − t cos t, t) .

En los ejercicios 9-16,representar la curva plana mediante una función vectorial. (Hay varias respuestas
correctas)

9. y = 4 − x.
10. y = (x − 2)2 .
11. x2 + y2 = 25.
12.

x2 y2
−
= 1.
16
4

13. 2x − 3y + 5 = 0.
14. y = 4 − x2 .
15. (x − 2)2 + y 2 = 4.
16.

x2 y2
+
= 1.
16
9
En los ejercicios 17-24, trazar la curva intersección de las superficies. Representar la curva por una función
vectorial usando el parámetro dado.Superficies

17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.

z = x2 + y 2 , x + y = 0
z = x2 + y 2 , z = 4
x2 + y 2 = 4, z = x2
4x2 + 4y2 + z 2 = 16, x = z 2
x2 + y 2 + z 2 = 4, x + z = 2
x2 + y 2 + z 2 = 10, x + y = 4
x2 + z 2 = 4, y 2 + z 2 = 4
x2 + y 2 + z 2 = 16, xy = 4

Parámetro

x=t
x = 2 cos t
x = 2 sen t
z=t
x = 1 + sen t
x = 2 sen t
x = t (primer octante)
x = t (primer octante)

25. Probar que lagráfica de la función vectorial
−
→
−
→
−
→
−
→
r (t) = t i + 2t cos t j + 2t sen t k
está sobre el cono 4x2 = y 2 + z 2 . Dibujar la curva.

26. Probar que la gráfica de la función vectorial
−
→
−
→
−
→
−
→
r (t) = e−1 cos t i + e−1 sen t j +e−1 k
está sobre el cono z 2 = x2 + y2 . Dibujar la curva.

−
→
27. Encuentre la derivada de la función en P0 , en la dirección de A .
−
→
−
→
−
→
(a) f (x, y) =2xy − 3y2 , P0 (5, 5) , A = 4 i + 3 j .
−
→
−
→ −
→
(b) f (x, y) = 2x2 + y2 , P0 (−1, 1) , A = 3 i −4 j .
√
−
→
−
→
−
→
(c) g(x, y) = x − y 2 /x + 3 arcsec (2xy) , P0 (1, 1) , A =12 i + 5 j .
√
−
→
−
→
−
→
(d) h (x, y) = arctan (y/x) + 3 arcsen (xy/2) , P0 (1, 1) , A = 3 i − 2 j .
−
→
−
→
−
→
−
→
(e) f (x, y, z) = xy + yz + zx, P0 (1, −1, 2) , A = 3 i +6 j − 2 k .
−
→
−
→ −
→
−
→
(f) f (x, y, z) =x2 + 2y2 − 3z 2 , P0 (1, 1, 1) , A = i + j + k .
−
→
−
→
−
→ −
→
(g) g(x, y, z) = 3ex cos yz, P0 (0, 0, 0) , A = 2 i + j −2 k .
−
→
−
→ −
→
−
→
(h) h(x, y, z) = cos xy + eyz + ln zx, P0 (1, 0, 1/2) , A = i +2 j + 2 k .
28. Encuentre las direcciones en que las funciones crecen y decrecen más rápidamente en P0 .
(a) f (x, y) = x2 + xy + x2 ,
2

P0 (−1, 1) .

xy

(b) f (x, y) = x y + e sen y,
(c) f(x, y, z) = (x/y) − yz,
2

e

(d) g(x, y, z) = x + z ,

P0 (1, 0) .
P0 (4, 1, 1) .

P0 (1, ln 2, 1/2) .

(e) f (x, y, z) = ln xy + ln yz + ln xz, P0 (1, 1, 1) .
(f) h (x, y, z) = ln x2 + y2 − 1 + y + 6z,

P0 (1, 1, 0) .

29. Encuentre ecuaciones para (a) el plano tangente y (b) la recta normal en el punto P0 .
(a) x2 + y 2 + z 2 = 3,
2

2

2

(b) x + y − z = 18,
2

(c) 2z − x = 0,

P0 (1, 1, 1) .P0 (3, 5, −4) .

P0 (2, 0, 2).

(d) x2 + 2xy − y 2 + z 2 = 0,

P0 (1, −1, 3) .

(e) cos πx − x2 y + exz + yz = 4,
(f) x2 − xy − y 2 − z = 0,

(g) x + y + z = 1,

P0 (0, 1, 2) .

P0 (1, 1, −1) .

P0 (0, 1, 0).

(h) x2 + y 2 − 2xy − x + 3y − z = −4,

P0 (2, −3, 18).

30. Encuentre ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la curva de intersección de las superficies en el
punto P0 .
(a)Superficies: x + y 2 + 2z = 4,

x = 1,

2

(b) Superficies: xyz = 1,

2

x + 2y + 3z = 6, P0 (1, 1, 1).

2

(c) Superficies: x + 2y + 2z = 4,
3

P0 (1, 1, 1).

2

2 2

y = 1, P0 (1, 1, 1/2).

(d) Superficies: x + 3x y + y + 4xy − z 2 = 0,
(e) Superficies: x2 + y 2 = 4,

3

x2 + y2 + z 2 = 11, P0 (1, 1, 3).
√ √
x2 + y2 − z = 0, P0 ( 2, 2, 4).

31. Encuentre la derivada de f (x, y) = x2 + y2 , en la...