Miscelaneos_2_Parcial

Universidad de Costa Rica
Escuela de Matem´
atica
MA-10002: C´
alculo II.
Ejercicios Miscelaneos: II Parcial
1. Calcule el valor de convergencia de las sigueintes series num´ericas.
∞

a)
n=1
∞

b)
n=1
∞

c)
n=1
∞

d)
n=1

∞

1
(2n − 1) (2n + 1)

ln

e)
n=2
∞

2n + n2 + n
2n+1 n (n + 1)

f)
n=2

(ln(n)n )

n

g)

(−1)
(2n + 1)
n (n + 1)

n=2

(1 + n)

ln (n + 1)n+1

π
4

1−

π
4

−1
n(n+1)

∞

(n+ 1) 3−n Sugerencia: Utilice una

h)

n
(n + 1) (n + 2) (n + 3)

n=0

serie de potencias adecuada.
∞

arctan

2. Calcule el valor de convergencia de serie
identidad trigonom´etrica tan (α − β) =

1 n
n

(−1)n−1 32n+3 − 4n−2
52n

∞
n−1

1+

n=1
tan α−tan β
1+tan α tan β

n2

1
+ 3n + 3

Sugerencia: Aplique la

con α = arctan (n + 2) y β = arctan (n + 1).

3. Determine la convergencia de lassiguientes series num´ericas:
∞

∞
17 −n

a)

n e
n=1
∞

b)
n=1
∞

c)
n=1
∞

d)
n=1

e)
n=1
∞

2

(n!)
(2n)!

f)
n=1

2n n!
nn

∞

g)
n=1

3 · 5 · 7 · · · (2n − 1)
2n n!
3 · 5 · 7 · · · (2n − 1)
2n n!
n
n+1

p

n2

an n!
con a > 0.
nn

4. Analice si las sigueintes series convergen absoluta o condicionalmente
∞

a)
n=1

∞

cos (nπ)
n2

(−1)n+1

c)
n=1
∞

√
n
n
b)
(−1)
n + 100
n=1

d)

∞

1

3 · 5 · 7 · ·· (2n + 1)
2 · 5 · 8 · · · (3n − 1)

π
− arctan (n) Recuerde
2
n=1
que arctan(n) + arctan(1/n) = π2
(−1)n+1

∞

1
(−1)n √ es convergente y determine con cuantos t´erminos se
n
n=1
aproxima la serie con cinco decimales exactos.

5. Muestre que la serie

∞

6. Si se sabe que
n=1

1
π2
calcule el valor de
=
n2
6

∞

n=4

n2

1
− 2n + 1

7. Determine los valores de p para los cuales las siguientesseries son convergentes:
∞

a)
n=1
∞

b)
n=1
∞

c)

∞

np
pn

d)
n=1
∞

1
√
n (np − 1)
√

e)
n=1

2np n!
nn
(np)n
n!

n2p + 1 − np

n=1

8. Utilice desarrollos limitados para determinar la convergencia de las siguientes series num´ericas. En todos los caso α > 0
∞

n=1
∞

b)

∞

1
n2

n sin

a)

n=2

1
ln 1 + √
n
n=1
∞

c)
n=2
∞

1
1+ √
n

sinh

∞

1
n2

f)
n=2

1
3

∞

−1

g)
n=1

√
1
n
a−1−
n
1 −cos
√
5
n

∞

(−1)n
ln 1 + √
d)
n
n=2

1 − cos

h)
n=1
∞

9. Si p > 0, q > 0. Muestre que la serie
n=1

α

1
n

1 − cos

e)

1
nα

1
√
3
nα

p(p + 1) · · · (p + n − 1)
q(q + 1) · · · (q + n − 1)

arctan

α

converge si y solo si

α (q − p) > 1.
10. Calcule el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias:
∞

a)
n=0
∞

b)
n=0
∞

c)
n=0

∞

(x + 5)n
2n

d)
n=0
∞

n

(3x − 1)
(n +1) 2n
n

e)
n=0
∞

2n 2n

(−1) 2 x
2n

f)
n=0

2

1
nα

n!xn
nn
(n!)2 n
x
(2n)!
1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)
2 · 4 · 6 · · · 2n

3

xn

11. Para cada una de las series de potencias determinar el conjunto de todos los valores reales
x para los que converge y calcular su suma. Los desarrollos en serie de potencias ya vistos
pueden utilizarsen cuando converga.
∞

∞

nxn

1)

3)

n=0
∞

2)

n=0
∞

(−1)nn2 xn

4)

n=0

n=1

12. Considere la sunci´on f (x) =

n+2
n+1

xn

2n xn
n

ex − 1
.
x

a) Determine una representaci´on en serie de potencias de f (x)
∞

n
= 1. Sugerencia: Derive t´ermino a t´ermino la serie en (a)
(n + 1)!

b) Demuestre que
n=1

13. Considere la funci´on f (x) =

1
(1 − x)2

a) Detetmine una representaci´on en series de potencias de f (x)
∞

b) Determine la suma de la serien=1
∞

(−1)n

14. Sea f (x) =
n=0

n
2n

x2n
3n

a) Calcule el intervalo de convergencia de f (x).
b) Calcule f (x) en forma expl´ıcita.
c) Calcule la expanci´on en serie de potencias de f (x).
d ) Determine el radio de convergencia de f (x).
1
2

e) Calcule el valor de convergencia de f

.

f ) Determine cu´antos sumandos se necesitan para aproximar el valor de convergencia con
4 cifrasdecimales.
15. Considere la sunci´on f (x) = x2 e−x
a) Determine una representaci´on en series de potencias de f (x)
∞

(−2)n+1

b) Demuestre que
n=1

n+2
= 4. Sugerencia: Derive t´ermino a t´ermino la serie en
n!

(a)
16. Considere f (x) = xex
a) Determine una representaci´on en serie de potencias de f (x)
3

∞

1
1
= . Sugerencia: Integre t´ermino a t´ermino de 0 a 1 la
n!(n + 2)
2
n=1
serie obtenida...