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Vectores en Rn
Este espacio vectorial está formado por el conjunto de vectores de n dimensión (es decir con n número de componentes). Podemos encontrar un ejemplo de ellos en los vectores R2 , queson famosos por representar las coordenadas cartesianas: (2,3), (3,4),...
Suma de Vectores
Tengase 2 vectores que se desean sumar . ejemplo
vector 1 =vi
v1=(3,4,-8) v2=(5,2,4)
(3, 4, -8) + (5,2,4)= (3+5, 4+2, -8+4) = (8,6,-4).
Matrices mxn
Está formado por las arreglos numéricos, cuyas dimensiones se representan m filas por n columnas. Los arreglos matriciales son particularmente estudiadospor el álgebra lineal y son bastantes usados en las ciencias e ingeniería.
Espacio vectorial de polinomios en una misma variable
Un ejemplo espacio vectorial está dado por todos los polinomios cuyogrado es menor o igual a 2 con coeficientes reales sobre una variablex.
Ejemplos de tales polinomios son:

La suma de dos polinomios cuyo grado no excede a 2 es otro polinomio cuyo grado no excedea 2:
(3x2 − 5x + 1) + (4x − 8) = 3x2 − x − 7
El campo de escalares es naturalmente el de los números reales, y es posible multiplicar un número por un polinomio:

donde el resultado nuevamente esun polinomio (es decir, un vector).
Un ejemplo de transformación lineal es el operador derivada D, que asigna a cada polinomio el resultado de derivarlo:
D(3x2 − 5x + 7) = 6x − 5.
El operadorderivada satisface las condiciones de linealidad, y aunque es posible demostrarlo con rigor, simplemente lo ilustramos con un ejemplo la primera condición de linealidad:
D((4x2 + 5x − 3) + (x2 − x − 1))= D(5x2 + 4x − 4) = 10x + 4
y por otro lado:
D(4x2 + 5x − 3) + D(x2 − x − 1) = (8x + 5) + (2x − 1) = 10x + 4.
Cualquier espacio vectorial tiene una representación en coordenadas similar a , lo cualse obtiene mediante la elección de una base (álgebra) (es decir, un conjunto especial de vectores), y uno de los temas recurrentes en el álgebra lineal es la elección de bases apropiadas para que...