MMCS

SOLUCIÓN PRÁCTICA Nº 2-1

 40.16 213.12 115.2 
T   213.12 84.16 153.6 


 115.2 153.6 356 
a ) Invariantes de tensiones
Invariante 1
I1  tr( T)  400
Invariante 2

 T00 T0 1 
 T0 0 T0 2 
 T1 1 T1 2 




  70000
I2 

 
 T1 0 T1 1 
 T2 0 T2 2 
 T2 1 T2 2 






Inveriante 3
7

I3  T  1  10b ) El polinomio característico
3

2

3

2

p ( σ)  σ  I1 σ  I2 σ  I3  σ  400  σ  70000  σ  10000000
c ) Las tensiones principales y las direcciones principales
Tensionesprincipales

 500 
σi  eigenvals( T)   100 


 200 
Direcciones principales

 0.36 
u 1  eigenvec( T 500 )   0.48 


 0.8 
 0.48 
u 2  eigenvec( T 100 )  0.64 


 0.6 

 0.8 
u 3  eigenvec( T 200 )   0.6 


 0 

d ) Tensor de tensiones diagonal

 σi0 0 0 
0 

  500 0



0
σ
0
0 
Td 
 0 100
i1
 

 0 0 σi   0 0 200 
2

e ) Indicar la matriz de cambio de base C que permite transformar el tensor T en un tensor
diagonal
La matriz cambio de base es la matriz compuesta por lasdirecciones principales

 u10

C   u 2 0

 u3
 0

u1

1

u1



2

 0.36 0.48 0.8 
   0.48 0.64 0.6 
1
2 

0 
0.6
u 3 u 3   0.8
1
2
u2

u2Comprobación

 500 0 0 
Tdiagonal  C T C   0 100 0 


 0 0 200 
T

f ) Comprobar que dicha matriz C es ortogonal, es decir que C*CT=I

1 0 0
C C   0 1 0 


0 0 1T

g ) Comprobar que el tensor T' puede representar este mismo estado tensiones en otros sistema de
referencia

 500 100 50 
T'   100 0
100 


 50 100 100 
Si representan elmismo estado tensional los invariantes deben ser iguales
I'1  tr( T')  400

 T'0 0 T'0 1 
 T'0 0 T'0 2 
 T'1 1 T'1 2 




  72500
I'2 

 
 T'1 0...