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MODELOS DE PROBABILIDAD
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA:
Definición de función de probabilidad para una variable aleatoria discreta:
Sea X una variable aleatoria discreta que toma valores X1.....Xn tales la probabilidad de tomar cada uno de los valores es P(X=xi)= . Cuando esto ocurre se dice que X se distribuye como una variable aleatoria Uniforme discreta. Esta es la distribución discreta mássencilla, la cual asigna la misma probabilidad a cada una de las soluciones.
Dada
una variable aleatoria discreta X, diremos que f(xi) es la función de probabilidad que asocia a cada valor xi de la variable su probabilidad, f(xi) = P(X=xi).
LA MEDIA es el valor promedio ponderado en el que los valores posibles de la variable aleatoria se ponderan según las probabilidades correspondientes deocurrencia, también se denomina valor esperado E(X).
Para una variable aleatoria discreta:
μ = E(X ) = Σ[xP(x)]
Donde P(x) es la probabilidad de valores posibles de la variable aleatoria x. Es decir, se multiplica cada valor de x por la probabilidad de que ocurra, y luego se suman estos PRODUCTOS.
LA VARIANZA describirá la dispersión de la distribución.
Para una variable aleatoria discreta:
σ2 = Σ[(x − μ )2 P(x)]
LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR σ la calcularemos al extraer la raíz cuadrada de la varianza.
a) Distribución uniforme discreta:
La variable aleatoria X tiene una distribución uniforme discreta de parámetro n, que denotáramos por U(n), si su ley de probabilidad viene dada por:

SX = {x1, x2, . . . , xn}
p(X = xi)= para cada i = 1, 2, . . . , n.
Ejemplo: Seleccionamos al azarun número real en el intervalo [2, 6] y definimos una variable aleatoria como X=”número seleccionado”. Calcula la probabilidad de que el número seleccionado sea menor de 5 y el número esperado.
En este caso x U (2,6); Para calcular la probabilidad lo que hacemos es:

P [X≤5] = = = = ] = - = = 0.75.

Esto se podía haber hecho más rápido con la función de distribuciónde la siguiente forma:
P [X≤5] = F (5) =

Para calcular la esperanza, aplicamos la formula y nos queda,

E [X] =


b) Distribuciones definidas sobre un experimento de Bernouilli
Un experimento aleatorio se denomina de Bernouilli si verifica las tres condiciones siguientes:
1) El experimento consiste en observar elementos de una población y clasificarlos en dos categorías: éxito yfracaso (que denominaremos E y F).
2) Llamaremos p a la probabilidad de que un elemento este E y q = 1 − p a la probabilidad de que este en F.
3) Las observaciones son independientes.

Sobre los experimentos de Bernouilli se pueden definir varios modelos de variables aleatorias:

• Distribución de Bernouilli.
La variable aleatoria X que modeliza la clasificación de un elemento observadoen un experimento de Bernouilli como E o F, tiene una distribución que llamaremos Bernouilli de parámetro p.
Lo denotaremos por X B(p). Su ley de probabilidad viene dada por:
SX = {0, 1}

p(X = 1) = p, p(X = 0) = 1 – p

Sus medidas principales son:

E(X) = p V ar(X) = pq.

• Distribución binomial.
La variable aleatoria X que modeliza el número de elementos, entre nobservados que tienen la característica E, tiene una distribución que llamaremos binomial de parámetros n y p. Lo denotaremos por X B(n, p); su ley de probabilidad viene dada por:

SX = {0, 1, . . . , n}

P(X = k) = pk (1-p)n-k

Sus medidas principales son:

E(X) = np V ar(X) = npq.
Ejemplos:
1) Una empresa industrial que fabrica componentes mecánicos para aviones dispone de dosdistribuidores por Europa, uno situado en Francia y otro en Alemania. Ambos tienen el 20% de posibilidades de cerrar un pedido con un consorcio industrial de fabricación de aviones.
Si el distribuidor francés contacta con 5 consorcios:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el distribuidor francés consiga a lo sumo 2 cuerdos de distribución?

Sea X=”Número de acuerdos de distribución del...