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LAS FÓRMULAS DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

CARLOS S. CHINEA

LAS FÓRMULAS DE LA

TRIGONOMETRIA ESFERICA

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

LA ESFERA. ELEMENTOS DE LA ESFERA. FORMULAS DE LOS SENOS. FORMULAS DE LOS COSENOS. FORMULAS DE BESSEL. FORMULAS DE LAS COTANGENTES. FORMULAS DE BORDA. ANALOGIAS DE DELAMBRE. ANALOGIAS DE NEPER.

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MARCHENA

DICIEMBRE 2002

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1. LA ESFERA. ELEMENTOS DE LA ESFERA:

La esfera: Una esfera E, de centro en el punto (a,b,c) y radio k, es el dominio de R3 definido por

E = (x , y , z ) ∈ R 3 / (x − a ) + (y − b ) + (z − c ) ≤ k 2
2 2 2

{

}

Superficie de la esfera: Se llama superficie de una esfera de centro en el punto (a,b,c) y radio k, al dominio de R3definido por

E = (x , y , z ) ∈ R 3 / (x − a ) + (y − b ) + (z − c ) = k 2
2 2 2

{

}

Círculos máximos: Se llaman círculos máximos de una esfera de radio k a las circunferencias de radio k. Los círculos máximos están contenidos en la superficie de la esfera. Se llama ángulo barrido sobre un círculo máximo comprendido entre dos punto A y B del mismo al ángulo AOB, siendo O el centromatemático de la esfera.

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Propiedades elementales: a) 4 puntos del espacio euclídeo R3 definen una esfera, y solo una. b) Por un punto P de la superficie de una esfera pasan infinitos círculos máximos. Por dos puntos P y Q de la superficie de una esfera pasa un círculo máximo y solo uno. c) Si la longitudde arco desde A a B es a y el radio de la esfera es k, el ángulo sobre el círculo máximo es @ = a/k.

Volumen y superficie de la esfera: El volumen de una esfera es el volumen de revolución engendrado por un recinto circular que gira alrededor del diámetro. La superficie es la superficie lateral de un cuerpo de revolución. Si consideramos a la esfera centrada en el origen, se tiene:

Para elvolumen:

V = 2π ∫ y 2.dx , Para la superficie: S = 4π ∫ y. 1 + y ' 2 .dx
0 0

k

k

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Cálculos:
k k 4 V = 2π ∫ y 2 .dx =2π ∫ k 2 − x 2 .dx = π.k 3 0 0 3

(

)

S = 4π ∫0 y. 1 + y ' .dx = 4π∫0
2

k

k

k − x k 2 y. 1 +   y  .dx = 4π∫0 y. y .dx = 4π.k   

2

Dominiosobre la superficie esférica: Un dominio de superficie esférica es un recinto o área sobre la superficie de la esfera limitado por curvas contenidas en dicha superficie.

Triángulo esférico: Un triángulo esférico de vértices A, B y C, es el dominio de superficie esférica limitado por tres círculos máximos que se cortan en A, B y C.

Los lados, a, b y c, son respectivamente, los arcos decírculo máximo opuestos a A, B y C. En todo triángulo esférico de lados a, b y c, y de vértices A, B y C, sobre una superficie esférica de radio k, se pueden distinguir 6 ángulos: A, B y C: son los ángulos diedros que definen los círculos máximos que se cortan en dichos
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puntos.

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a/k, b/k, c/k son losángulos centrales (con vértice en el centro de la esfera) barridos por cada uno de los lados a, b y c. Las razones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante de cada uno de estos ángulos son también el seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante del ángulo plano de igual amplitud. Esto quiere decir que son validas las fórmulas de la trigonometría plana para cadaángulo, esto es: Relaciones elementales:

cos2 a + sen2 a = 1,
Ángulo suma/diferencia:

tg2 a =

sen2 a , cos2 a

sen2 a =

tg 2 a , 1 + tg2 a

cos2 a =

1 1 + tg 2 a

sen(a ± b) = sena. cos b ± cos a.senb cos(a ± b) = cos a. cos b m sena.senb tga ± tgb tg( a ± b) = 1 m tga.tgb
Ángulo doble:

sen2 A = 2.senA. cos A,
Ángulo mitad:

cos 2 A = cos A − sen A,
2 2...