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An´lisis Matem´tico II - Primer cuatrimestre 2012
a
a
Departamento de Matem´tica - I.C.B.
a
P. Landini, V. Fern´ndez
a

Pr´ctica 3
a
(Derivadas parciales y direccionales)

Ejercicio 1 Calcular las derivadas parciales de las siguientes funciones:
a) z = ln(x +

d) z = arctg

y
sin x

y2

x 2 + y 2 ),

b) z = 2 x e + 3

x+y
, si x · y = 1,
1− xy

e) u =

xy +

x
yc) z = 2

x
y
+3 ,
y
x

Z

,

f) u = x

(y z )

,

g) z = (x2 + y 2) log(x2 + y 2),

h) z = x cos x cos y,

i) z = cos(x5 y 4),

j) z = cos x y + x cos y,

k) z = x2 + y 2 sin x y,

l) z = sin[tg(4x − 2y )],

m) z = cos(x3 − 3y 2 x),

n) z = arctg(x y ),

o) z = ln(x2 − 2 sin y ),

2

p) z = x3 y + e(x y ) − 3sin(x y) ,
s) z = y tgx − arctg

Ejercicio 2Hallar

x−y
,
x2 + y 2
∂f
∂x

a) f (x, y ) = 9 − x2 − 7 y 3 ,
b) f (x, y ) =

q) w = x2y −

x2 + 4 y 2 ,

c) f (x, y ) = x2 cos(x y ),

t) w =

y
P0

∂f
∂y

z
+ zx y
x

r) z = 3x y − ln(x2 y ),

1
, u) z =
ln(x y + y z + z x)

ln(x2 + y 2 ).

, de las siguientes funciones:
P0

en P0 = (1, 1),
en P0 = (1, 2),
1
en P0 = ( , π ).
2

Ejercicio 3 Probarque las funciones u(x, y ) y v (x, y ) satisfacen las ecuaciones de
Cauchy - Riemann:
∂u
∂v
=
∂x
∂y

y

∂u
∂v
=−
∂y
∂x

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a
a

2

siendo
a) u(x, y ) = x2 − y 2

y

v (x, y ) = 2 x y ,

b) u(x, y ) = ex · cos y

y

v (x, y ) = ex · sin y ,

c) u(x, y ) = ln(x2 + y 2 )

y

v (x, y ) = 2 · arctanEjercicio 4 Sea f (x, y ) =





x2

xy
+ y2
0

si

y
.
x

(x, y ) = (0, 0)
,

si

(x, y ) = (0, 0)

probar que fx (0, 0) y fy (0, 0) existen, pero f no es continua en (0, 0).
π
Ejercicio 5 Sea f : IR2 −→ IR la funci´n definida por f (x, y ) = (x2 + y 2 ) sin x+y . Se
o

pide:

a) Estudiar la continuidad de fx y fy en (0, 0)
b) Estudiar la diferenciabilidad def en (0, 0)

Ejercicio 6 Probar que las siguientes funciones son diferenciables:
a)f (x, y ) = 3 x + y 2,

en P0 = (1, 1),

b)f (x, y ) = x2 y + x3 ,

en P0 = (−2, 1),

c)f (x, y ) = 3x2y + x − y, en P0 = (1, 3).

Ejercicio 7 Dadas las siguientes funciones diferenciables, hallar su diferencial:
a) f (x, y ) = ln 1 +
b) f (x, y, z ) =
c) f (x, y ) =

x2

x
,
y

z
, en P =(3, 4, 5).
+ y2

x2 − y 2

Ejercicio 8
Del an´lisis de las derivadas parciales fx , fy de cada una de las siguientes funciones,
a
obtener conclusiones respecto de su diferenciabilidad, e indicar en que puntos son diferenciables:

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a
a
a
a) z = ln(ex + ey ),
b) z =

x
,
y

c) z = (x + y )2 sin
d) z =

π
.x+y

cos x + exy
x2 + y 2

Ejercicio 9 Estimar los resultados de los siguientes c´lculos:
a
a) (0, 99 · e0,02)8 =
b) 0, 993 + 2, 013 − 6 · 0, 99 · 2, 01 =
√
c) 2992 + 3992 =

1
de un cono circular recto es dado por V = π r2 h,
3
donde r y h son, respectivamente, el radio y la altura del cono. Si la altura disminuye de
20 cm a 19, 95 cm, y el radio aumenta de 4 cm a 4, 05 cm, utilizarel diferencial total
para aproximar el cambio de volumen.

Ejercicio 10 El volumen V

Ejercicio 11 Dada la funci´n z = x2 + y 2 + 1.
o
a) Calcular el gradiente

z en P0 = (2, 2).

b) Hallar la curva de nivel que pasa por P0 .
c) Analizar la posici´n relativa de
o

z con respecto a la curva de nivel.

Ejercicio 12 Dada w = x2 + y 2 + z 2 − 4.
a) Calcular el gradiente

w en P0 =(0, 1,

√

3).

b) Graficar la superficie de nivel en w = 0.
c) Analizar la posici´n relativa del
o

w (P0 ) y la superficie de nivel.

Ejercicio 13 Hallar la derivada direccional de las siguientes funciones:

3

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a
a
a

2

2

a) f (x, y ) = −x − y + 4, en P0 = (−1, 2), y en la direcci´n de u =
o
b) f (x,...