Mneto

 Semejanza de Triángulos
Introducción
La condición de congruencia de dos triángulos es muy estricta. De hecho, si dos triángulos son congruentes, en la mayor parte de los casos hablamos de que son iguales.
Si nos fijamos ahora en el Teorema de Thales y en sus consecuencias vamos a poder establecer relaciones entre triángulos mucho más interesantes desde el punto de vista geométrico yfundamentales desde el punto de vista de la Trigonometría.
Hay triángulos que no tienen los lados iguales dos a dos pero si sus ángulos y de los que se obtienen resultados muy relevantes que resultan fundamentales en los estudios trigonométricos.

Triángulos en Posición de Thales
Definición: 
[LaTeX] 
1. Dos lados de uno contienen respectivamente a dos lados del otro
2. El tercer lado de unoes paralelo al tercer lado del otro
(RD.1)
En la definición se observa que podemos aplicar el Teorema de Thales y sus corolario, por lo que, se cumplen las siguientes propiedades:
[LaTeX] 

Triángulos Semejantes

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Definición: 
[LaTeX] 
Existe un triángulo congruente con uno de ellos que está en posición de Thales con el otro: 
[LaTeX] 
(RD.3)
De lo queacabamos de ver en (RD.2) se deduce que dos Triángulos semejantes:
1. Tienen sus ángulos respectivamente iguales
2. Tienen sus lados respectivamente proporcionales (RD.4)
Veremos un poco más abajo que hay una serie de criterios que nos permitirán deducir que dos triángulos son semejantes sin necesidad de acudir a está definición.

Razón de Semejanza
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Si dostriángulos semejantes tienen sus lados respectivamente proporcionales, podemos definir:
Definición: 
Llamamos razón de semejanza entre dos triángulos a la constante de proporcionalidad k entre sus lados: 
[LaTeX] 
(RD.4) 
Si tomamos las proporciones entre los lados al revés, la razón de proporcionalidad será 1/k
Vamos a destacar tres realaciones entre lados de triángulos semejantes que seránde especial interés en las definiciones de las funciones trigonométricas:
1.
[LaTeX] (RD.5)
2.
[LaTeX] (RD.6)
3.
[LaTeX] (RD.7)

1er criterio de Semejanza 
Dos Triángulos son semejantes si tienen 2 ángulos iguales

Criterio 1:
Dos Triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales
Del hecho que dos triángulos son semejantes hemos deducido que sus ángulos soniguales. 
Ahora vamos a ver lo contrario mediante un proceso constructivo, en el Applet adjunto: 
Tengamos presente que Si dos triángulos tienen 2 ángulos iguales, tienen los 3 iguales.

2º criterio de Semejanza 
Dos Triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales

Crterio 2:
Dos Triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales
Del hecho que dos triángulos sonsemejantes hemos deducido que sus ángulos son iguales. 
Ahora vamos a ver lo contrario en el Applet adjunto: 
Partiremos de dos triángulos de los que conozcamos sus lados y sepamos que son proporcionales. Dados los lados de un triángulo, es único salvo congruencias. Los dibujaremos y veremos que se pueden colocar en posición de Thales.

3er. criterio de Semejanza: 
Dos Triángulos son semejantes sitienen un ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman
Crterio 3:
Dos Triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman
Del hecho que dos triángulos son semejantes hemos deducido que sus ángulos son iguales y sus lados proporcionales, por tanto, al menos un ángulo debe ser igual y, al menos, los lados que lo forman han de ser proporcionales. Ahora vamos a ver en el Applet adjunto que si tienen sólamente un ángulo igual y los lados que lo forman proporcionales, los triángulos son semejantes: 
Partiremos de dos triángulos de los que conozcamos un ángulo igual y los lados que lo forman en cada uno de ellos, proporcionales. Dado un ángulo y los lados que lo forman, sólo se puede construir un triángulo con estas características, salvo...