Modelacion Numerica Metodo Runge kutta

Capítulo III
Solución de Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias

S

e llama ecuación diferencial ordinaria a una ecuación que relaciona la variable
(n)
independiente x, la función incógnita y = y(x ) y sus derivadas y′, y′′, ..., y , es decir,

una ecuación de la forma:

F ( x , y , y′, y′′, ..., y ( n ) ) = 0

(23)

En otras palabras, se llama ecuación diferencial ordinaria a una ecuación en la quefigura la
derivada o diferencial de una función incógnita.
Si la función incógnita y = y(x ) depende de una sola variable independiente x, la ecuación
diferencial se llama ordinaria. Por ejemplo:

dy
+ xy = 0
dx
2 ) y '' + y ' + y = cos x

1)

3) ( x 2 + y 2 )dx + ( x + y )dy = 0

(24)

14 Hidráulica Computacional - V. Yzocupe (2006)

El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada demayor orden que figura en la
ecuación. Por ejemplo: la ecuación diferencial y′ + xy = e

x

es de primer orden; la ecuación

diferencial y′′ + p( x ) y = 0 , donde p(x) es una función dada, es de segundo orden.
Se llama solución de la ecuación diferencial a una función y = ϕ (x ) , determinada en el
intervalo (a, b) junto con sus derivadas sucesivas hasta el orden n inclusive, tal que al hacer
lasustitución y = ϕ (x ) en la ecuación diferencial, ésta, se convierte en una identidad con
respecto a x en el intervalo (a, b).
3.1

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Valor Inicial
Los problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) se clasifican en
problemas con condiciones iniciales y problemas con condiciones de frontera. Muchos
de los problemas con condiciones iniciales dependendel tiempo; en ellos, las
condiciones para la solución están dadas en el tiempo inicial. Los métodos numéricos
para los problemas con condiciones iniciales difieren en forma significativa de los que
se utilizan para los problemas con condiciones en la frontera.
El problema de una EDO de primer orden con condiciones iniciales se puede escribir
en la forma:

y ′(t ) = f ( y , t ), y ( 0 ) = y 0(25)

donde f (y,t) es una función de y y t, en tanto que la segunda ecuación es una
condición inicial. En la ecuación anterior, la primera derivada de y está dada como
una función conocida de y y t y queremos calcular la función incógnita y integrando
numéricamente f (y,t). Si f fuera independiente de y, el cálculo sería simplemente una
integración directa. Sin embargo, el hecho que f sea una funciónde la función
desconocida y, hace que la integración sea distinta.
La condición inicial siempre es parte de la definición del problema, debido a que la
solución de un problema con condiciones iniciales sólo se puede determinar de
manera única si dicha condición inicial está dada.
Algunos ejemplos de problemas con condiciones iniciales de EDO de primer orden:

a ) y ' ( t ) = 3 y + 5 , y( 0 ) = 1(26)

b ) y ' (t ) = ty + 1, y( 0 ) = 0
1
c ) y ' (t ) =
, y( 0 ) = 1
1 + y2
Existen tres tipos de métodos de integración numérica para problemas con
condiciones iniciales: el de Euler, de Runge-Kutta y el de Predictor-corrector.

Solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 15

FORMULA
RELEVANTE

METODOS

Métodos de Euler:
1. Hacia delante
2. Modificado
3. Hacia atrás

Runge-Kutta:
1. desegundo orden
2. de tercer orden
3. de cuarto orden

Predictor-corrector:
1. de segundo orden
2. de tercer orden
3. de cuarto orden

3.2

ERROR DE TRUNCAMIENTO
LOCAL

GLOBAL

Diferencia hacia delante
Regla del trapecio
Diferencia hacia atrás

0(h2)
0(h3)
0(h2)

0(h)
0(h2)
0(h)

Regla del trapecio
Regla de 1/3 de Simpson
Regla de 1/3 ó 3/8 de
Simpson

0(h3)
0(h4)
0(h5)

0(h2)
0(h3)
0(h4)

Regla deltrapecio
Newton hacia atrás
Newton hacia atrás

0(h3)
0(h4)
0(h5)

0(h2)
0(h3)
0(h4)

Métodos de Euler
Estos métodos son adecuados para una programación rápida debido a su sencillez.
Hay que señalar que cuando el sistema de ecuaciones es cada vez más complicado, se
utilizan con más frecuencia los métodos de Euler. Los métodos de Euler tienen tres
versiones:
a)
b)
c)

Euler hacia adelante
Euler...