Modelacion tasa de creciemiento de peces en un estanque.

Resumen
Se ha modelado el comportamiento del tamaño de la población de los peces en un estanque, cuando se usan como fuente alimenticia. El modelo incluye el efecto del costo de pescar y el precio al ser vendidos en el tamaño de la población. También se incluye una variable llamada “esfuerzo”, la cual mide el empeño con el que se pescan los peces, el cual depende del precio de los peces en elmercado y del tamaño de la población de peces. El tamaño de la población depende de la tasa de reproducción y de la velocidad con que son pescados. Se estudian soluciones particulares del modelo obtenido y también se grafican estas soluciones. Se estudia el comportamiento de las soluciones al cambiar los parámetros del modelo y también se estudia el efecto del cambio de las condiciones iniciales.Introducción al problema
Primero se definen las variables que deseamos estudiar. En nuestro caso, las variables a estudiar son:
* La población de peces.
* El esfuerzo con el que se realiza la pesca.
* El tiempo.
Las dos primeras variables son las variables dependientes del modelo y el tiempo es la variable independiente.
Adicionalmente, en el modelo se incluye el efecto de lossiguientes parámetros:
* El costo de pesca (lo consideramos constante en un principio).
* El precio en el mercado de los peces (lo consideramos constante en un principio).
* Constantes que modelan el crecimiento logístico de los peces en un ambiente limitado.
* Una última constante que permite definir la velocidad de cambio del esfuerzo.
El modelo debe representar las siguientescaracterísticas:
* En ausencia de pesca, la población de peces debe crecer hasta que un valor máximo por encima del cual no puede crecer, debido a que el estanque es limitado.
* El esfuerzo en la pesca debe aumentar cuando el precio del pescado es mayor.
* El esfuerzo en la pesca debe disminuir cuando el costo de la pesca es mayor.
Planteamiento o modelización
En un proyecto de pesca,deseamos conocer la cantidad de peces en un estanque en cualquier momento.
En primer lugar, supongamos que los peces se reproducen libremente, y la población no está restringida en espacio ni por alimentos. Lo anterior es cierto para poblaciones pequeñas. En este caso, la tasa de crecimiento de los peces es proporcional al número de estos en cualquier momento. Si x(t) es la población de peces encualquier instante, tenemos:
dxtdt=ax
Donde a es una constante determinada experimentalmente.
Pero el crecimiento no tiene por qué ser ilimitado. Tarde o temprano el estanque se llena y, por tanto, el nivel de oxígeno, el espacio disponible y el alimento para los peces será más escaso. La contaminación en el estanque crecerá y esto acabará con la vida de algunos peces.
Para modelar esta nuevasituación, ahora suponemos un ritmo de cambio negativo proporcional al tamaño de la población al cuadrado.
dxtdt=ax-bx2
Como podemos comprobar fácilmente, para valores pequeños de la población, es más importante el término ax y a medida que la población crece, se vuelve más importante el término -bx2.
Cuando los peces pertenecen a una especie que se reproduce rápidamente, ‘a’ es grande y sereproducen lentamente si ‘a’ es pequeño.
La constante b es pequeña si el estanque es grande y la constante b es grande, si el estanque es pequeño.
Ahora consideramos que la nuestra es una actividad comercial que consiste en criar a los peces y pescarlos para venderlos.
Nuestra variable de interés ahora es el esfuerzo en pescar los peces. No tenemos una dimensión para la variable “Esfuerzo”, pues noes una variable física como temperatura, presión o velocidad. No es ni siquiera una variable cuantitativa, pues no existen las “unidades” de esfuerzo. Es una variable cualitativa que usamos en frase como “A Miguel le cuesta menos esfuerzo las matemáticas que a Laura”. Ese esfuerzo, puede ser una medida del tiempo invertido (en ese caso si sería cuantitativa), puede ser la “disposición” a estudiar...