Modelación matemicatica y optimizacion

MAESTRÍA EN INGENIERÍA CON ÉNFASIS EN INGENIERÍA INDUSTRIAL
Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones
Profesor: Héctor J. Martínez
Gina Paola Ortiz Fajardo
Ángela María Valencia Martínez

Modelación Matemática y Optimización
Entrega Número 5
27. Un individuo cuyo negocio es mezclar whisky, importa tres grados, A, B, y C. Los combina
de acuerdo con recetas que especifican losporcentajes máximo y mínimo de los grados A y C en
la mezcla. Los porcentajes se dan en la tabla siguiente:
Nombre de la mezcla
Blue dot
Highland
Old Frenzy

Condiciones Ingredientes
No menos del 60% del whisky A
No más del 20% del whisky C
No menos del 15% del whisky A
No más del 60% del whisky C
No más del 50% del whisky C

Precio Botella ($USD)
6,8
5,7
4,5

La provisión de lostres whiskies básicos:
Whisky Básico

Máxima cantidad disponible (botellas/día)

Costo Botella ($USD)

A
B
C

2000
8500
1200

7,5
5
4

Síntesis del problema
Determinar la cantidad de botellas de whisky básico a usar diariamente para la producción de las
mezclas, con el objetivo de maximizar las ganancias, de acuerdo a las restricciones dadas.
Variables de decisión
Sean:𝑋𝑋𝑖𝑖𝑖𝑖= 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑖𝑖 𝑎𝑎 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝ó𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑗𝑗

𝑖𝑖 = 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶
𝑗𝑗 = 1, 2, 3

1: 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ;

2: 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻ℎ𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙;

1

3: 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹

Objetivo y Función Objetivo
Objetivo: Maximizar G
F.O: G=Utilidad Neta
Componente Ingresos ($)

G = Ingresos − Costos

6,8(𝑋𝑋1𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶𝐶) + 5,7 (𝑋𝑋𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶𝐶 ) + 4,5 (𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶𝐶 )
Componente Costos ($)

7,5(𝑋𝑋𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑋𝑋𝐴𝐴𝐴𝐴 ) + 4,0(𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶𝐶 )

G = −7,5𝑋𝑋𝐴𝐴𝐴𝐴 + 2,8𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶𝐶 − 1,8𝑋𝑋𝐴𝐴𝐴𝐴 + 1,7𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶𝐶

Restricciones

Por contenido de whisky A en mezcla Blue dot:
𝑋𝑋𝐴𝐴𝐴𝐴 ≥ 0,6 (𝑋𝑋𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶𝐶 )

0,4𝑋𝑋𝐴𝐴𝐴𝐴 − 0,6𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶𝐶 ≥ 0 [𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 ]

Por contenido de whisky C en mezcla Blue dot:
𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶𝐶 ≤ 0,2 (𝑋𝑋𝐴𝐴𝐴𝐴 +𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶𝐶 )

0,8𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶𝐶 − 0,2𝑋𝑋𝐴𝐴𝐴𝐴 ≤ 0 [𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 ]

Por contenido de whisky A en mezcla Highland:
𝑋𝑋𝐴𝐴𝐴𝐴 ≥ 0,15 (𝑋𝑋𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶𝐶 )

0,85𝑋𝑋𝐴𝐴𝐴𝐴 − 0,15𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶𝐶 ≥ 0 [𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 ]

Por contenido de whisky C en mezcla Highland:
𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶𝐶 ≤ 0,6 (𝑋𝑋𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶𝐶 )

0,4𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶𝐶 − 0,6𝑋𝑋𝐴𝐴𝐴𝐴 ≤ 0 [𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 ]

Por contenido de whisky C en mezcla Old Frezy:
𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶𝐶 ≤ 0,6𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶𝐶0.4𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶𝐶 ≤ 0 [𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 ]

Por Disponibilidad diaria de botella básica Whisky A:
𝑋𝑋𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑋𝑋𝐴𝐴𝐴𝐴 ≤ 2.000 [𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 ]

Por Disponibilidad diaria de botella básica Whisky C:
𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑋𝑋𝐶𝐶𝐶𝐶 ≤ 1.200 [𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 ]
Obvias:

𝑋𝑋𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0;

i = A, B, C, j = 1, 2, 3

𝑋𝑋𝑖𝑖𝑖𝑖 Enteros;

i = A, B, C, j = 1, 2, 3
2

Supuestos:
-

El objetivo es maximizar las ganancias netasobtenidas a partir de las ventas de las
mezclas, suponiendo que todo lo que produce será vendido.
El whisky básico B no es incluido en el modelo de PL, ya que la composición de las
mezclas no requiere del mismo, por lo tanto su compra no es necesaria.
La posibilidad de importar los tres tipos de whiskies básicos no implica la inclusión de
los tres en el modelo.

Modelo de Programación Lineal𝐌𝐌𝐌𝐌𝐌𝐌 𝐆𝐆 = −𝟕𝟕, 𝟓𝟓𝑿𝑿𝑨𝑨𝑨𝑨 + 𝟐𝟐, 𝟖𝟖𝑿𝑿𝑪𝑪𝑪𝑪 − 𝟏𝟏, 𝟖𝟖𝑿𝑿𝑨𝑨𝑨𝑨 + 𝟏𝟏, 𝟕𝟕𝑿𝑿𝑪𝑪𝑪𝑪

Sujeto a:

𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟒𝟒𝑨𝑨𝑨𝑨 − 𝟎𝟎, 𝟔𝟔𝑿𝑿𝑪𝑪𝑪𝑪 ≥ 0 [𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 ][𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰 𝐀𝐀 𝐞𝐞𝐞𝐞 𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦 𝐁𝐁𝐁𝐁𝐁𝐁𝐁𝐁 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝]
𝟎𝟎, 𝟖𝟖𝟖𝟖𝑪𝑪𝑪𝑪 − 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝑿𝑿𝑨𝑨𝑨𝑨 ≤ 0 [𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 ][𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰 𝐂𝐂 𝐞𝐞𝐞𝐞 𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦 𝐁𝐁𝐁𝐁𝐁𝐁𝐁𝐁 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝]

𝟎𝟎, 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝑨𝑨𝑨𝑨 − 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝑿𝑿𝑪𝑪𝑪𝑪 ≥ 0 [𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩][𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰 𝐀𝐀 𝐞𝐞𝐞𝐞 𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇]
𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟒𝟒𝑪𝑪𝑪𝑪 − 𝟎𝟎, 𝟔𝟔𝑿𝑿𝑨𝑨𝑨𝑨 ≤ 0 [𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 ][𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰 𝐂𝐂 𝐞𝐞𝐞𝐞 𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦 𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇𝐇]
𝟎𝟎. 𝟒𝟒𝑿𝑿𝑪𝑪𝑪𝑪 ≤ 0 [𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 ][𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰𝐰 𝐂𝐂 𝐞𝐞𝐞𝐞 𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦 𝐎𝐎𝐎𝐎𝐎𝐎 𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅]

𝑿𝑿𝑨𝑨𝑨𝑨 + 𝑿𝑿𝑨𝑨𝑨𝑨 ≤ 2.000 [𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩...