Modelado analítico de sistemas (universidad de costa rica) apuntes
Páginas: 37 (9053 palabras)
Publicado: 3 de octubre de 2010
Modelado analítico de sistemas
Capítulo 5 Modelado analítico de sistemas
Introducción
Este tema está orientado a la obtención de los modelos matemáticos de los sistemas siguiendo vías analíticas. El modelado se fundamenta en las ecuaciones de balance de masa, balance de componentes, de conservación de energía y de conservación de la cantidad de movimiento. Debido a que muchos de estosmodelos son no lineales, se introducirá el concepto de linealización con el objetivo de facilitar su análisis. Los modelos, siguiendo métodos analíticos, son útiles especialmente en la fase de diseño.
5.1. Leyes Fundamentales
Para determinar analíticamente el modelo matemático del sistema, es necesario conocer las leyes físicas y químicas que gobiernan su comportamiento dinámico. Balance de Masa Elprincipio del balance de masa, aplicado a un sistema dinámico viene dado por (5.1), donde la primera sumatoria representa la materia que entra al sistema y la segunda sumatoria representa la materia que sale del sistema.
∑ ρi (t )qi (t ) − ∑ ρ j (t )q j (t ) =
i =1 j =1
n
m
d ( ρvV (t ) ) dt
(5.1)
•
Las variables involucradas tienen el siguiente significado: ρ x (t ) es ladensidad de la sustancia x, kg ⋅ m-3 qx (t ) es el caudal de la sustancia x, m3 ⋅ s -1
•
•
(
(
)
)
V(t) es el volumen de la sustancia dentro del sistema, m3
( )
La ecuación (5.1) es una ecuación general pues las variables involucradas son todas funciones del tiempo pero, dependiendo de las circunstancias, algunas de ellas podrían ser constantes. El balance puede establecersea nivel de los componentes químicos, en este caso se establece una ecuación de balance de componentes en función de los moles que entran, salen o se transforman.
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Modelado analítico de sistemas
Balance de Energía
La primera ley de la termodinámica conduce a la ecuación de balance de energía:
Ue −U s + Q −W = • • • • •
dU dt
(5.2)
( ) U s es el flujo de energía cinéticay potencial que sale del sistema, ( J ⋅ s ) Q es la cantidad de calor agregado al sistema por unidad de tiempo, ( J ⋅ s ) W es el trabajo hecho por el sistema, por unidad de tiempo, ( J ⋅ s )
-1
Donde U e es el flujo de energía cinética y potencial que entra al sistema, J ⋅ s -1
-1
-1
U es la energía interna del sistema, ( J )
Conservación de la Cantidad de Movimiento
La ley dela conservación de la cantidad de movimiento establece que la razón de cambio de la cantidad de movimiento en la i-ésima dirección, es igual a la suma neta de las fuerzas que actúan en esa dirección, esto es,
∑ fij =M
j =1
n
dvi = Mai dt
(5.3)
• • • •
Donde vi es la velocidad en la i-ésima dirección, m ⋅ s -1
(
) )
fij es la fuerza j-ésima actuando en la i-ésimadirección, ( N )
M es la masa, la cual se considera constante en el tiempo, ( kg ) ai es la aceleración en la i-ésima dirección, m ⋅ s -2 .
(
La ecuación (5.3) también se le conoce como la Segunda Ley de Newton e implica el balance de fuerzas.
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Modelado analítico de sistemas
5.2. Sistemas Eléctricos
En la mayoría de las aplicaciones eléctricas, los circuitos pueden considerarse comosistemas de parámetros concentrados, así, su dinámica se describe con ecuaciones diferenciales ordinarias. Las variables normalmente utilizadas en los sistemas mecánicos en traslación son, • i (t ) , intensidad de corriente eléctrica, ( A )
• • •
v(t ) , voltaje, ( V )
W(t), energía, ( J ) o (kWh) P(t), potencia, ( W )
En donde la relación para la potencia viene dada por (5.4) y laenergía se expresa según (5.5).
P = i⋅v
(5.4)
P=
dW dt
(5.5)
5.2.1. Leyes de los elementos
• • • •
Los elementos eléctricos que se consideran en la presente sección son: Resistor (resistencia) eléctrico ideal Capacitor ideal Inductor ideal (fricción) Transformador ideal
Resistor (resistencia) eléctrico ideal
La relación tensión-corriente en este elemento viene descrita por la...
Capítulo 5 Modelado analítico de sistemas
Introducción
Este tema está orientado a la obtención de los modelos matemáticos de los sistemas siguiendo vías analíticas. El modelado se fundamenta en las ecuaciones de balance de masa, balance de componentes, de conservación de energía y de conservación de la cantidad de movimiento. Debido a que muchos de estosmodelos son no lineales, se introducirá el concepto de linealización con el objetivo de facilitar su análisis. Los modelos, siguiendo métodos analíticos, son útiles especialmente en la fase de diseño.
5.1. Leyes Fundamentales
Para determinar analíticamente el modelo matemático del sistema, es necesario conocer las leyes físicas y químicas que gobiernan su comportamiento dinámico. Balance de Masa Elprincipio del balance de masa, aplicado a un sistema dinámico viene dado por (5.1), donde la primera sumatoria representa la materia que entra al sistema y la segunda sumatoria representa la materia que sale del sistema.
∑ ρi (t )qi (t ) − ∑ ρ j (t )q j (t ) =
i =1 j =1
n
m
d ( ρvV (t ) ) dt
(5.1)
•
Las variables involucradas tienen el siguiente significado: ρ x (t ) es ladensidad de la sustancia x, kg ⋅ m-3 qx (t ) es el caudal de la sustancia x, m3 ⋅ s -1
•
•
(
(
)
)
V(t) es el volumen de la sustancia dentro del sistema, m3
( )
La ecuación (5.1) es una ecuación general pues las variables involucradas son todas funciones del tiempo pero, dependiendo de las circunstancias, algunas de ellas podrían ser constantes. El balance puede establecersea nivel de los componentes químicos, en este caso se establece una ecuación de balance de componentes en función de los moles que entran, salen o se transforman.
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Modelado analítico de sistemas
Balance de Energía
La primera ley de la termodinámica conduce a la ecuación de balance de energía:
Ue −U s + Q −W = • • • • •
dU dt
(5.2)
( ) U s es el flujo de energía cinéticay potencial que sale del sistema, ( J ⋅ s ) Q es la cantidad de calor agregado al sistema por unidad de tiempo, ( J ⋅ s ) W es el trabajo hecho por el sistema, por unidad de tiempo, ( J ⋅ s )
-1
Donde U e es el flujo de energía cinética y potencial que entra al sistema, J ⋅ s -1
-1
-1
U es la energía interna del sistema, ( J )
Conservación de la Cantidad de Movimiento
La ley dela conservación de la cantidad de movimiento establece que la razón de cambio de la cantidad de movimiento en la i-ésima dirección, es igual a la suma neta de las fuerzas que actúan en esa dirección, esto es,
∑ fij =M
j =1
n
dvi = Mai dt
(5.3)
• • • •
Donde vi es la velocidad en la i-ésima dirección, m ⋅ s -1
(
) )
fij es la fuerza j-ésima actuando en la i-ésimadirección, ( N )
M es la masa, la cual se considera constante en el tiempo, ( kg ) ai es la aceleración en la i-ésima dirección, m ⋅ s -2 .
(
La ecuación (5.3) también se le conoce como la Segunda Ley de Newton e implica el balance de fuerzas.
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Modelado analítico de sistemas
5.2. Sistemas Eléctricos
En la mayoría de las aplicaciones eléctricas, los circuitos pueden considerarse comosistemas de parámetros concentrados, así, su dinámica se describe con ecuaciones diferenciales ordinarias. Las variables normalmente utilizadas en los sistemas mecánicos en traslación son, • i (t ) , intensidad de corriente eléctrica, ( A )
• • •
v(t ) , voltaje, ( V )
W(t), energía, ( J ) o (kWh) P(t), potencia, ( W )
En donde la relación para la potencia viene dada por (5.4) y laenergía se expresa según (5.5).
P = i⋅v
(5.4)
P=
dW dt
(5.5)
5.2.1. Leyes de los elementos
• • • •
Los elementos eléctricos que se consideran en la presente sección son: Resistor (resistencia) eléctrico ideal Capacitor ideal Inductor ideal (fricción) Transformador ideal
Resistor (resistencia) eléctrico ideal
La relación tensión-corriente en este elemento viene descrita por la...
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