Modelado de sistema del sistema suspensión de un automóvil

Vibraciones Mecánicas y Dinámica de Máquinas
Proyecto año 2009

Vehículo que atraviesa una lomada
El comportamiento dinámico del sistema de suspensión de un automóvil se estudia mediante un modelo de 1 GLD como sigue:
m1
"sprung mass"

vo
automóvil

c1

k1

m2
"unsprung mass"

Se pretende analizar la respuesta dinámica del vehículo y su sistema de suspensión para cuando elvehículo transita por una lomada de la figura caracterizada en el modelo por un perfil semisinusoidal de longitud L = 3 metros de longitud y altura máxima A = 8 cm . Suponga que la rueda permanece siempre en contacto con el pavimento.

1. Elija su automóvil y defina las propiedades del vehículo a estudiar. 2. Analice: • los desplazamientos relativos del sistema de suspensión • la aceleración absolutadel vehículo, • los esfuerzos del sistema de suspensión en función de la velocidad, obtenga conclusiones. 3. De acuerdo con el análisis realizado: recomiende al conductor a qué velocidad debe transitar la lomada. Analice la validez de las hipótesis utilizadas.

Rev. 0 – 24/06/2009

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Proyecto año 2009

1.1.

Planteo del problema

1.1.1.Planteo en tiempo dimensional
Las ecuaciones de movimiento del sistema pueden ser escritas como:
⎡ k1 ⎢ −k ⎣ 1 −k1 ⎤ ⎧ x1 ⎫ ⎡ c1 ⎨ ⎬+ ⎢ k1 ⎥ ⎩ x2 ⎭ ⎣ −c1 ⎦ −c1 ⎤ ⎧ x1 ⎫ ⎡ m1 ⎥⎨ ⎬+ ⎢ c1 ⎦ ⎩ x2 ⎭ ⎣ 0 0 ⎤ ⎧ x1 ⎫ ⎧0 ⎫ ⎥⎨ ⎬= ⎨ ⎬ m2 ⎦ ⎩ x2 ⎭ ⎩0 ⎭

El GL2 tiene un desplazamiento prefijado que es una función del tiempo, x2 (t ) = A sin(ωo t ) ( Φ (t ) − Φ (t − to ) )
L td vo donde L es la longitudde la lomada en [m], A su altura en [m] y Φ(t ) la función escalón.

ωo =

π

to =

Resolviendo el GL1 en función de los desplazamientos absolutos u2 queda: kx1 + cx1 + mx1 = f b (t ) donde se ha obviado el uso del subíndice 1 para k , c, m . La función de carga en la base resulta fb (t ) = kx2 (t ) + cx2 (t )
fb (t ) = A ⎡ k sin ωo t ( Φ (t ) − Φ (t − td ) ) + cωo cos ωo t ( Φ (t ) − Φ (t− td ) ) + c sin ωo t (δ (t ) − δ (t − td ) ) ⎤ ⎣ ⎦ El desplazamiento dinámico absoluto del vehículo se obtiene mediante la integral de convolución de la carga f (t ) con la función respuesta a impulso h(t ) :
x1 (t ) = ∫ f (η ) h(t − η ) dη
0 t

donde

1 t −ζωnt sin ωd ( t ) dt e mωd ∫0 Reemplazando 2 k = mωn ; c = 2ζ mωn se tiene t A − ζω t −η ' x1 (t ) = ∫0 e n sin ωd ( t − η ) fb (η )dη 2 1− ζ
h(t ) =
f b' = (ωn sin ωoη + 2ζωo cos ωoη )( Φ (η ) − Φ (η − td ) ) x1 (t ) = A 1− ζ
t td 2

{∫ e
t 0

− ζωn ( t −η )

sin ωd ( t − η )(ωn sin ωoη + 2ζωo cos ωoη ) dη −

− ∫ e −ζωnt −η sin ωd ( t − η )(ωn sin ωoη + 2ζωo cos ωoη ) dη

}

Notar que la respuesta no depende de la masa. La velocidad y la aceleración absoluta son respectivamente

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Proyecto año 2009

dx1 1 dx1 [m/s] x1 = [g] dt 9.81 dt Mientras que los desplazamientos relativos del sistema de suspensión resultan mg u = x1 − x2 − k donde el último término es el desplazamiento estático por peso propio Los esfuerzos del sistema de suspensión f s (t ) son la suma de la fuerza del resorte y del amortiguador, du f s = ku + c dt x1 =1.1.2. Planteo en tiempo adimensional
Partiendo de dx1 d 2 x1 dx kx1 + c + m 2 = c 2 + kx2 dt dt dt Se obtiene la versión en tiempo adimensional τ de esta ecuación mediante d () 1 d () d 2 () 1 d 2 () ωn t = τ = = 2 dt ωn dτ dt 2 ωn dτ 2 resultando dx d 2 x ⎞ dx ⎞ 2⎛ 2⎛ mωn ⎜ x1 + 2ζ 1 + 21 ⎟ = mωn ⎜ 2ζ 2 + x2 ⎟ dτ dτ ⎠ dτ ⎝ ⎠ ⎝ La versión adimensional de x2 (t ) es donde
x2 (τ ) = A sin Ω oτ( Φ (τ ) − Φ (τ − τ o ) )

Ωo De la misma manera la función de carga en la base en función del tiempo adimensional τ es fb (τ ) = Ak ( 2ζΩ o cos Ωoτ + sin Ωoτ )( Φ (τ ) − Φ (τ − τ o ) )

ωo = Ωoωn

τo =

π

La respuesta en función de τ se expresa como:
x1 (τ ) = ∫ f b (ξ ) h(τ − ξ ) d ξ
0

τ

Recordemos que la función respuesta a impulso se escribe ahora: τ −ζΩ (τ −ξ ) 1 h(τ −...