Modelado de sistema

MODELADO Y SIMULACION DE SISTEMAS

ANALISIS Y OBTENCION DEL MODELO MATEMATICO
DE UN SISTEMA ELECTROMECANICO

JULIO 24 DEL 2010

Para el si stema de control mostrado:
a) La fuerza de atracción ejercida por el solenoide esta dada por f c:

fc  K c i c
donde Kc tiene unidades de lb f por Ampere
b) El voltaje existente en las terminales del campo del generador esta dada por e f:

ef K x x
donde Kx tiene unidades de volts por pulgada y x esta dada en pulgadas
c) Cuando el voltaje en el solenoide es nulo, el re sorte se encuentra relajado y la
distancia x es cero.
Se solicita:
i) Obtener todas la s ecuaciones relaciona ndo todas las variables del si stema .
ii) Dibujar un diagrama de bloques para el si stema de control. El diagrama debe
incluir suficientes bloque s paraindicar las variables I c(s), X(s), I f (s), Eg (s) y Ω(s).
Obtener la funcion de transferencia de sistema.

Ahora comencemos con la deduccion de las ecuaciones re stante s.
A partir de los voltajes de malla descri tos en el esquema, tenemos lo siguiente:

er  ec  et  0
de donde

er  et  ec
El voltaje eC , se relaciona con la corriente iC de acuerdo a la siguiente ecuación:

ec Rc ic  Lc

di c
dt

La corriente i c, al circular por el solenoide produce un campo magnetico que genera una
fuerza fc . La ecuación que relaciona a fc con dicha corriente, es:

fc  Kc ic

La fuerza fc, es transmitida al conjunto resorte-amortiguador mediante un vastago,
produce un de splazamiento x en un elemento de resi stencia lineal. Matematicamente,
podemos relacionar ambasvariables, utilizando las siguiente s ecuaciones:

dx1
 Ks ( x  x1)
dt
K s ( x  x1)  fc
B1

Al de splazar el control de la re si stencia lineal una determinada distancia, se origina una
variación en el voltaje existente en las terminales de la resi stencia, a dicho voltaje se le
identifica en el esquema como e f y se relaciona con el desplazamiento x, según se
muestra en la siguienteecuación:

ef  K x x
Como se puede observar, el voltaje e f aplicado a las terminales del devanado de campo
de un generador, produce una corriente electrica en el mismo. Esta corriente,
identificada como i f , se relaciona con el voltaje aplicado, de acuerdo a la siguiente
ecuación:
di
ef  Rf i f  Lf f
dt

Por lo especificado en el esquema, se asume que el unico factor que determinael voltaje
producido en las terminales del generador es la intensidad de corriente que fluye por el
devanado del campo. Asi, el voltaje generado e g se relaciona con la corriente de campo
según la siguiente expresion:

eg  Kg if

Siguiendo con la descripción del esquema, se observa una malla electrica que se
conforma por el voltaje eg , una resi stencia Rm y una diferencia de potenciaem. De lo
anterior se formula la siguiente expresión:

eg  em  i g Rm
Para continuar, es necesario mencionar algunas caracteristica s del motor que se
muestra.
a) Dado que el voltaje en el devanado de campo es constante, se puede concluir
que se trata de un motor controlado por la corriente que circula a trave s de su
devanado de armadura.
b) El par o torca desarrollado por el motor e sdirectamente proporcional a la
corriente que fluye por su devanado de armadura. Asi, tenemos:

Tm  KT i g

a) Por su construcción, se pre senta una diferencia de potencial contraria, conocida
como fuerza contraelectromotriz, misma que se identifica como e m y que es
directamente proporcional a la velocidad con que gira el motor. La expresión
derivada de lo anterior, es:
em  Kb
b)Tambien resulta necesario considerar variables fi sica s que se encuentran
relacionadas con el par producido por el motor. La inercia y el amortiguamiento
inherentes, se hacen presentes en el par desarrollado por el motor, según la
siguiente expresión:

Tm  J

d
 B
dt

A partir de lo anterior, obtenemos:

KT i g  J

d
 B
dt

Con e sta expresión y la mostrada en el inciso...