Modelado De Sistemas Físicos

T´ ıtulo
Nombre Fecha

1.

Formato
Una columna centrado. Fuente Times New Roman T´ ıtulo - Tama˜o 24. n Nombre y fecha - Tama˜o 11. n

Encabezado.

Cuerpo Dos columnas, justificado. Fuente Times New Roman. Tama˜o 10. n Entregar en papel. M´ximo 5 p´ginas. a a Figura 1: Robot a modelar de fuerzas centr´ ıfugas y Coriolis, D es la matriz de fricci´n viscosa, g(q) es la energ´ potencial y τes el o ıa par aplicado por los motores a las articulaciones. En este caso q = [q1 q2 ]T .

2.

Introducci´n o

3.1.

C´lculo de la energ´ cin´tica a ıa e

El sistema a analizar es el robot Rhino XR-3, este robot es de 5 grados de libertad, pero solo se trabajara con un grado. El modelado se hace considerando 2 grados de libertad, puesto que la configuraci´n o mec´nica del robot as´ lorequiere. En la fig.1 se muesa ı tra un diagrama de la parte del robot que se va a modelar. De este robot se obtendr´ el modelo din´mico en a a la secci´n 3, en la secci´n 4 se muestra la respuesta del o o robot a dos diferentes tipos de se˜ales de peueba, en n la secci´n ?? se linealiza el sistema al rededor de un o punto de operaci´n y finalmente en la secci´n ?? se o o muestra la comparaci´n entreel sistema linealizado, o el sistema no lineal y los resultados experimentales

Debido a que este robot no cumple con la convenci´n de Denavit-Hatenberg el c´lculo de la energ´ o a ıa cin´tica se har´ por medio del m´todo donde se hace e a e esta consideraci´n. Tomando la consideraci´n anterio o or, la energ´ cin´tica es ıa e
2

H(q) =
i=1

T T T mi Jvci Jvci + Jwi 0 Rci Ii 0 Rci Jwi(2)

Donde
S´ ım. i mi Jvci Jwi 0 Rci Ii ℓi ℓci Desc. Grados de libertad (2) Masa de la articulaci´n i o Velocidad lineal i del jacobiano Velocidad angular i del jacobiano Rotaci´n de origen a centros de masa o Matriz de inercia Longitud de eslabon i Distancia el centro de masa i Unidad N/A Kg m/s rad/seg

3.

Modelado

Las matrices de rotaci´n del origen a los centros de o masa son H(q)¨+ C(q, q)q + Dq + g(q) = τ q ˙ ˙ ˙ (1)   C1 −S1 0 0  donde q es el vector de desplazamiento de las articulaRc1 =  S1 C1 0 (3) ciones, H(q) es la energ´ cin´tica, C(q, q) es el vector ıa e ˙ 0 0 1 1

Sabemos que el modelo din´mico del robot puede a modelar con una ecuaci´n Lagrangiana de la siguiente o forma [1]

m m

0

Rc2

=



El calculo de Jvc1 y Jvc2 se efect´a de maneradiu recta, esto es ¯ Vi = 0 ri = Jvci q ˙ ˙ ¯ donde ri es la distancia del centro i a la base, y Vi ˙ es la velocidad del centro de masa con respecto al origen. Por lo tanto   −ℓc1 sin q1 0 Jvc1 =  ℓc1 cos q1 0  (5) 0 0   −ℓ1 sin q1 −ℓc2 sin q2 Jvc2 =  ℓ1 cos q1 ℓc2 cos q2  (6) 0 0
0

C2  S2 0

−S2 C2 0

 0 0 1

(4)

Ixxi = Iyyi Izzi

1 mi (b2 + c2 ) i i 12 1 = mi (a2 + c2 )i i 12 1 = mi (a2 + b2 ) i i 12

Por lo tanto la matriz de inercia es
Ii =
1 mi (b2 i 12

+ c2 ) i

0
1 mi (a2 i 12

0 0

+ c2 ) i

0

0 0 1 mi (a2 + b2 ) i i 12

(8)

Sustituyendo (3), (5), (7) y (8) en (2) se obtiene
H(q) =
m1 a2 +m1 b2 1 1 12

Para el c´lculo de la matriz de Coriolis se utilizan a Para el c´lculo de la matriz de inercia Ii se consid- los s´ a ımbolosde Christoffel [1], los cuales se calculan era que las articulaciones del robot tienen los cuerpos a partir de H(q). La matriz C(q, q) es ˙ geom´tricos mostrados en la Figura 2. e C(q, q) = ˙ 0 −m2 ℓ1 ℓc2 sin(q2 − q1 )q2 ˙ m2 ℓ1 ℓc2 sin(q2 − q1 )q1 ˙ 0 (10)

Jwi se obtiene por inspecci´n, la primer columna o seg´n sea el movimiento de la articulaci´n en y la u o segundo es como influye elmovimiento en la otra articulaci´n. En este caso ambas giran sobre el eje z y o por la disposici´n del manipulador las articulaciones o no influyen en el movimiento de la otra articulaci´n. o     0 0 0 0 Jw1 =  0 0  Jw1 =  0 0  (7) 1 0 0 1

+ m1 ℓ2 + m2 ℓ2 c1 1

m2 ℓ1 ℓc2 cos(q2 − q1 )

m2 ℓ1 ℓc2 cos(q2 − q1) 2 m2 (a2 +b2 +12ℓ2 ) 2 c2
12

(9)

3.2.

Vector de fuerzas centr´ ıfugas y...