Modelado en variables de estado para circuitos

PADILLA RABADAN IGNACIO

CONTROL MODERNO

Tarea # 1

24 septiembre del 2009

Objetivo.

Que el alumno obtenga la representación en variables de estado de diferentes circuitos RLC con el finde que se familiarice con dicha representación. Obtenga la representación en variables de estado de los siguientes circuitos:

Realizando el análisis de voltajes por las leyes de kirchhoff en elcircuito obtenemos:

Vt=VL+Vc=LddtIL+Vc Despejando: ddtIL=VtL-VcL

Realizando el análisis de corrientes por las leyes de kirchhoff en el circuito obtenemos:

it=IL ; IL=IR+Ic=VcR+CddtVcDespejando: ddtVc=ILC-VcRC

Haciendo el cambio de variable: X1=VC X2=IL U=V(t)

X1X2=0-1L1C-1RCX1X2+1L0U

El voltaje en el inductor es el mismo que en R1 y que la suma de voltajes en elcapacitor y R2.
VL=VR1=Vc+VR2 donde VR2=Ic+4VLR2
VL=Vc+Ic+4VLR2= Vc+IcR2+4VLR2 Sustituyendo
VL=Vc1-4R2+R2Ic1-4R2 Por lo que: ddtIL=VcL(1-4R2)+R2IcL(1-4R2) E.C. ADespejando VL:
Aplicando leyes de corrientes de kirchhoff al circuito tenemos la suma de todas las corrientes igual a i(t). La corriente en R2 es la suma de la corriente en el capacitor mas la fuente decorriente con valor a 4VL.
it=iR1+iL+iR2 Donde: IR2=Ic+4VL ; IR1=VLR1 Entonces:
it=VLR1+IL+Ic+4VL=VL1R1+4+IL+Ic
it=LVcL1-4R2+R2IcL1-4R21R1+4+IL+IcSustituyendo: ddtIL
it=Vc+R2IcR11-4R2+4(Vc+R2Ic)1-4R2+IL+Ic
it=IcR2R11-4R2+4R21-4R2+1+VcR11-4R2+4Vc1-4R2+IL Sustituyendo: ddtVc ddtVc= it - VcR11-4R2 - 4Vc1-4R2 -ILCR2R11-4R2+4R21-4R2+1= 1-4R2it-R1Vc-4Vc-IL1-4R21-4R2CR1R2+4R2+1-4R21-4R2
Primer ecuación en variables de estado:
ddtVc=1-4R2it-Vc(R1-4)-IL1-4R2CR1R2+1
Para encontrar la segunda ecuación hay que sustituir laprimer ecuación en la ecuación A.
ddtIL=VcL(1-4R2)+R2L1-4R2C1-4R2it-VcR1-4-IL1-4R2CR1R2+1
ddtIL=VcL(1-4R2)+R2itR1R2+1-R2VcR1-4R1R2+1-R2ILR1R2+1
ddtIL=Vc1L1-4R2-R2R1-4R1R2+1+R2itR1R2+1-R2ILR1R2+1...