Modelado matematico

Ciclos, Bifurcaciones y Caos en Sistemas Dinámicos Continuos
Omar Andrés Velasco Gómez
Diógenes Lagos Cortes
Escuela de Estudios Industriales y Empresariales
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Universidad Industrial de Santander, Colombia. Diciembre de 2009.

Introducción
La necesidad del hombre por predecir acontecimientos y responder a la pregunta ¿que pasa si ….? Lo hallevado a formular modelos que describan la realidad y podamos hacer simulaciones tratando de responder dicha pregunta, esta tarea ha tenido enfoques probabilísticos y deterministicos, entre los cuales las ecuaciones diferenciales ha jugado un papel fundamental en este último enfoque, sin embargo como se vera en este articulo las simulaciones del modelado de varios sistemas físicos ha llevado apensar que muchas veces los resultados no son los mas esperados, presentándose fenómenos cíclicos y caóticos que no dependen de fuerzas externas periódicas sino de la dinámica de los sistemas no lineales.

Marco Teórico
1. Ciclos
En general, casi todos los sistemas que presentan oscilaciones periódicas, pueden modelarse como un sistema autónomo no lineal x'=Fx, donde x es un vector real dedimensión n y F(x) es una función vectorial de dimensión n continuamente diferenciable. Las soluciones periódicas de un sistema no lineal generan orbitas cerradas en el espacio de estados, conocidas como ciclos. Los ciclos tienen las siguientes propiedades: i) Ninguna orbita diferente a la del ciclo puede cortarlo; ii) Una órbita que se corta a si misma define un ciclo.
Los ciclos y los puntosde equilibrio son importantes para determinar el comportamiento de las orbitas donde no existen puntos de equilibrio en el espacio de estado, son los encargados de dirigir las orbitas cercanas para que tomen un dirección u otra. Un ciclo de un sistema autónomo es un ciclo límite si algunas orbitas no periódicas tienden a él cuando t→+∞ o cuando t→-∞, es atrayente si toda orbita cercana se leaproxima cuando t→+∞ y es repelente si toda orbita cercana se le aproxima cuando t→-∞.
Teorema del ciclo de Van der Pol. Suponga una función f(x) uniformemente continua por partes, definida para todas las x y con las siguientes propiedades: i) f-x=f(x); ii) Para alguna constante positiva a, fx<0 si 0<x<a y fx>0 si x>a; iii) f(x)→∞ cuando x→+∞. Para todo valor positivo de μ elsistema de Van der Pol x'=y-μfx, y=-x, tiene un ciclo límite único que encierra el punto de equilibrio x=0, y=0 y que atrae a todas las orbitas no constantes.
Los ciclos límite se generan internamente por la dinámica de los sistemas autónomos correspondientes, sin ser resultado de alguna fuerza impulsora externa periódica en el tiempo, los ciclos en el plano de estados xy cumple que cada cicloencierra uno o más puntos de equilibrio y cada ciclo divide el plano en dos regiones, ninguna accesible desde la otra a través de una órbita.

Comportamiento de largo plazo
Las orbitas extendidas al máximo de un sistema autónomo plano son curvas en el plano de estados, si las funciones de tasa de cambio del sistema son continuamente diferenciables las orbitas ocupan todo el plano, pero ninguna deestas orbitas puede cortarse pero si se mueven de una gran variedad de formas, si una de las orbitas se encuentra acotada, el comportamiento de largo plazo se puede determinar fácilmente, mediante el uso del siguiente teorema.

Teorema del Comportamiento de largo plazo en el plano: Suponga que Γ es una órbita extendida al máximo del sistema x'=fx,y, y'=g(x,y), donde f y g son continuamentediferenciables. Supongamos que Γ esta contenida en un rectángulo que posee un número finito de puntos de equilibrio. Entonces, cuando t→+∞, Γ debe tender exactamente a una de las siguientes opciones: i) Un punto de equilibrio; ii) Un ciclo; iii) Una gráfica cíclica, esto se cumple también cuando t→-∞.
El conjunto de puntos al que se aproxima una órbita cuando t→+∞, es el conjunto límite positivo,...