Modelado y simulación

1. Modelo matemático

u(t ) = R·i1 (t ) + Vc (t ) 1 ′ Circuito eléctrico: Vc (t ) = (i1 (t ) − i2 (t ) ) C ′ Vc (t ) = L·i2 (t ) Sistema mecánico (segunda ley de Newton): m· x ′′(t ) = F (t ) − K · x (t ) − b· x ′(t ) Fuerza ejercida por el solenoide: F (t ) = α ·i2 (t )

2. Diagrama de bloques y función de transferencia El modelo es lineal, con lo cual se puede aplicar directamente latransformada de Laplace. Seleccionemos un estado estacionario: ′ Vc′(t = 0) = 0.; i2 (t = 0) = 0.; x ′(t = 0) = 0.; x ′′(t = 0) = 0; en el que las condiciones iniciales sean nulas: Vc (t = 0) = 0.; i2 (t = 0) = 0.; x (t = 0) = 0.; x ′(t = 0) = 0; Ese estado sucede con u(t=0)=0. Apliquemos la transformada de Laplace a las ecuaciones del modelo, considerando c.i nulas: u( s ) = R·i1 ( s ) + Vc ( s ) 1 (i1( s ) − i2 ( s ) ) ⇒ s·Vc ( s ) = 1 (i1 ( s ) − i2 ( s ) ) C C Vc (t ) = L·(s·i2 ( s ) − i2 (t = 0) ) ⇒ Vc (t ) = L·s·i2 ( s )
s·Vc ( s ) − Vc (t = 0) = m·(s 2 · x ( s ) − s· x ′(t = 0) − x (t = 0) ) = F ( s ) − K · x ( s ) − b·(s· x ( s ) − x (t = 0) ) ⇒ m·s 2 · x ( s ) = F ( s ) − K · x ( s ) − b·s· x ( s )
F ( s ) = α ·i2 ( s )

Manipulemos las ecuaciones y construyamos el diagrama debloques: u ( s ) − Vc ( s ) i1 ( s ) = R i ( s ) − i2 ( s ) 1 Vc ( s ) = 1 F ( s ) = α ·i2 ( s ) x( s) = F ( s) 2 C ·s m·s + b·s + K V (t ) i2 ( s ) = c L·s

Desplacemos el primer nodo hacia la derecha.

Resolvamos el lazo interno.

A continuación el otro lazo.

Haciendo la operación de bloques en cascada se obtiene que:

α

x( s ) =

R·L·C ·m u( s ) 1 ⎞ 3 ⎛K 1 b ⎞ 2 ⎛ b K ⎞ K ⎛b 4 s +⎜+ + + ⎟s + ⎜ + ⎟s + ⎜ ⎟s + L·C ·m ⎝ m R·C ⎠ ⎝ m L·C R·C ·m ⎠ ⎝ L·C ·m R·C ·m ⎠

Si reemplazamos los valores de los parámetros conocidos se obtiene que: 2000·α G( s) = 4 4 3 s + 1·10 ·s + 1.002·10 6 ·s 2 + 2.021·105 ·s + 2.·105

3.

Calcule el valor de la constante de proporcionalidad entre la intensidad que circula por el solenoide y la fuerza ejercida por el vástago (α), sabiendo que enestado estacionario cuando el voltaje de alimentación es de 1 voltio el desplazamiento es de 0.1 m.

Aplicando el teorema del valor final: y ss = lim s→0 s· y ( s )u( s ) . Sabiendo que: x( s ) =
2000·α u ( s ) , y dado que para s 4 + 1·10 4 ·s 3 + 1.002·10 6 ·s 2 + 2.021·10 5 ·s + 2.·10 5

u(t)=1 voltios →u(s)=1/s, se requiere que xss=0.1 m. Entonces:
x ss = lim s→0 s 2000·α 1 2000·α = 0 .1⇒ = 0.1 ⇒ α = 10. s 4 + 1·10 4 ·s 3 + 1.002·10 6 ·s 2 + 2.021·10 5 ·s + 2.·10 5 s 2.·10 5

4. Obtenida la función de transferencia del sistema:
G( s) = 20000 s + 1·10 ·s + 1.002·106 ·s 2 + 2.021·105 ·s + 2.·105
4 4 3

Determine los polos del sistema y tipo de respuesta.
⎧s = −9898.38 ⎪ Polos ⇒ s + 1·10 ·s + 1.002·10 ·s + 2.021·10 ·s + 2.·10 = 0. ⇒ ⎨s = −101.0 ⎪s = −0.1 ± 0.436i ⎩ El sistemaes estable. Si observamos los polos dominantes ⇒ s = −0.1 ± 0.436i , podemos decir que la respuesta será subamortiguada.
4 4 3 6 2 5 5

Si es posible, simplifique la función de transferencia.

Si es posible simplificarla ya que de los cuatro polos tenemos dos que son claramente dominantes. La función de transferencia la podemos simplificar eliminando los dos polos que no son dominantes(s=-101.0, s=-9898.38): 20000 = G ( s) = 4 4 3 s + 1·10 ·s + 1.002·10 6 ·s 2 + 2.021·10 5 ·s + 2.·10 5 20000 = ( s + 9898.38)·( s + 101.0)·( s + 0.1 − 0.436i )·( s + 0.1 + 0.436i ) 20000 0.02 ≈ ≈ 2 9898.38·101.0·( s + 0.1 − 0.436i )·( s + 0.1 + 0.436i ) s + 0.2·s + 0.2
Determine el amortiguamiento y frecuencia propia del sistema.

Un sistema de segundo orden podemos ponerlo como G ( s ) = K comparamoscon la f.d.t simplificada obtenida G ( s ) =

ωn 2 , si 2 s 2 + 2·δ ·ωn s + ωn

0.02 , tendremos que: s + 0.2·s + 0.2
2

ωn 2 = 0.02 ⇒ ωn = 0.447 2·δ ·ωn = 0.2 ⇒ δ = 0.2236 ⇒ SUBAMORTIGUADO

En el caso de que el sistema sea subamortiguado determine el sobrepico, el tiempo de pico, tiempo de establecimiento y el tiempo de subida.
M p = 100.e Tp =
−

δ ·π
1−δ 2

= 48.6408% =...