Modelado

M´todos Matem´ticos 2
e
a
Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias
de Primer Orden
L. A. N´ nez*
u˜
Centro de Astrof´sica Te´rica,
ı
o
Departamento de F´sica, Facultad de Ciencias,
ı
Universidad de Los Andes, M´rida 5101, Venezuela
e
y
Centro Nacional de C´lculo Cient´
a
ıfico
Universidad de Los Andes (CeCalCULA),
Corporaci´n Parque Tecnol´gico de M´rida,
o
o
eM´rida 5101, Venezuela
e
M´rida, Septiembre 2003. Versi´n α
e
o

´
Indice
1. Ley de Malthus/Decaimiento Radioactivo.

2

2. La Ecuaci´n log´
o
ıstica o Ley de Verhulst

4

3. La Ley de Enfriamiento de Newton

5

4. Inter´s Compuesto.
e

6

5. Mec´nica Elemental.
a
5.1. Movimientos con Acelaraci´n Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
5.2. Fricci´n enFluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

8
8
8

*

e-mail: nunez@ciens.ula.ve

1

5.3. Fuerzas El´sticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
5.4. Sistemas de Masa Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Un Cohete en Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
6. Modelado de Concentraci´n/Desliemiento de Soluciones
o

1.

10
11
12
14

Ley de Malthus/Decaimiento Radioactivo.
Malthus1
d
y(x) = k y(x)
dx

k>0
k 0 la ecuaci´n 1 describe el incremento poblacional. El valor de k se calcula expeo
rimentalmente (promediando sus valores para cada uno de los par´metros). Para la poblaci´n
a
o
venezolana k = 0,018
Poblaci´nVenezolana (Millones Hab.)
o
A˜o
n
Poblaci´n y(t) = 0,350 e0,018t
o
1800 (0)
0.350
0.350
1847 (47)
0.750
0.816
1873 (73)
1.000
1.302
1881 (81)
1.750
1.504
1891 (91)
2.100
1.801
1926 (126)
2.850
3.381
1936 (136)
3.200
4.048
1941 (141)
3.850
4.429
1950 (150)
4.350
5.208
1961 (161)
6.800
6.348
1971 (171)
10.800
7.600
1981 (181)
14.100
9.099

3

Poblaci´n deVenezuela desde 1800
o

2.

La Ecuaci´n log´
o
ıstica o Ley de Verhulst

Esta ecuaci´on se utiliza para describir el crecimiento de la poblaci´n de una manera m´s
o
o
a
precisa que la Ley de Malthus. Esta ecuaci´n toma en cuenta le decrecimiento de la poblaci´n
o
o
con el t´rmino −y 2
e
y = (k − ay) y = ky − ay 2
donde k y a son constantes arbitrarias. Esta ecuaci´n es separable yla soluci´n tiene la forma
o
o
de
y
ln
=k t+C
k − ay
y por lo tanto
y(t) =

k y0
a y0 + (k − a y0 ) e−k t

el crecimiento de la poblaci´n venezolana desde 1800 puede modelarse con k = 0,018, a = 0,001
o

4

Poblaci´n de Venezuela desde 1800
o

3.

La Ley de Enfriamiento de Newton
dT
= k(T − Tm )
dt

T (0) = T0

la soluci´n ser´
o
a
T = (T0 − Tm ) ek t + T m
ypara el caso de una torta recien sacada del horno a una temperatura de T0 = 176◦ , y una
temperatura ambiente de Tm = 23◦ , con T (80) = 63◦ ,la gr´fica ser´
a
a

5

Enfriamiento de una torta recien horneada
tambi´n se puede modelar el enfriamiento con una temperatura del ambiente variable esto es
e
dT
= k(T − Tm (t))
T (0) = T0
dt
t´mese, por ejemplo,
o
Tm (t) = 23 − 10 cos

πt12

con 0 ≤ t ≤ 24 horas

si T (0) = 15◦
dT
1
=
dt
4

T − 23 − 7 cos

πt
12

con la soluci´n
o
T (t) = −

−23 π 2 + 11 e

t
−4

t

π 2 + 21 π sen( π t ) + 63 cos( π t ) − 207 + 36 e− 4
12
12
2
9+π
y la siguiente evoluci´n
o

Variaci´n de la Temperatura Construcciones
o

4.

Inter´s Compuesto.
e

Otra de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales esen el c´lculo del crecimiento del
a
capital inicial, depositado en un banco C0 durante un cierto lapso de tiempo y sujeto a un
determinada tasa de inter´s. Luego del lapso de tiempo, el nuevo capital ser´
e
a
C1 = C0 1 +
6

int
100

Pasados dos lapsos (a˜os) de tiempo el capital ser´
n
a
C2 = C1 1 +

int
100

= C0 1 +

int
100

en t lapsos de tiempo,
C(t) = C0 1 +...