Modelado

Elementos B´asicos del Sistema en Mec´anica.
Jos´e Alberto P´erez Alc´antara
16 de septiembre de 2014

En este cap´ıtulo las ideas relativas a variables del sistema y los elementos del sistema son generalizadas.
Se considera un solo tipo energ´ıa: mec´
anica, por simplicidad, los elementos de mec´anica son estudiados
en dos clases simples; movimiento de traslaci´on y movimiento derotaci´on.

1.

Sistemas Mec´
anicos.

El comportamiento din´
amico de los sistemas mec´anicos esta dado por un conjunto de vectores de
velocidad, desplazamiento, fuerzas y momentos. En general, el movimiento sera una combinaci´
on de
traslaci´on y rotaci´
on del sistema con respecto a alg´
un marco de referencia, estos dos movimientos pueden
ser considerados como mecanismos separados peroque interact´
uan entre si.

1.1.

Elementos Mec´
anicos (Traslaci´
on)

El movimiento de traslaci´
on de un sistema mec´anico se caracteriza por un conjunto de componentes
energ´eticos que interact´
uan, por ejemplo si se piensa en una fuerza aplicada a una masa ideal, resultando
una aceleraci´on en la masa de tal manera que se genera una fuerza de reacci´on igual y opuesta. Adem´
as,el producto escalar de la fuerza y la velocidad resultante es la potencia entregada a la masa. Por lo tanto,
las variables, la fuerza y la velocidad, forman un par esfuerzo de flujo v´alido. Se requieren dos puntos
para especificar la velocidad de un objeto, una referencia inercial y un punto en el objeto, similarmente la
fuerza puede ser f´
acilmente visualizada a trav´es de una variable,ya que puede ser medida desde un solo
punto de referencia.
Con estos razonamientos en mente, se hacen las siguientes analog´ıas:
Analog´ıa 1.
La velocidad es an´
aloga al esfuerzo.
La fuerza es an´
aloga al flujo.
Esta asignaci´
on es completamente arbitraria, es igualmente v´alida como una forma de concebir y modelar sistemas mec´
anicos. De hecho, por esta raz´on, las dos analog´ıas, seutilizan indistintamente en el
texto, aunque el desarrollo de este cap´ıtulo es predominantemente en t´erminos de la analog´ıa 1.
Analog´ıa 2.
La velocidad es an´
aloga al flujo.
La fuerza es an´
aloga al esfuerzo.

1.2.

Traslaci´
on de una masa.

Una masa pura es un objeto mec´
anico r´ıgido el cual es movido entre un ambiente no disipativo.
Entonces de acuerdo a la segunda leyde newton, el momento pde la masa tiene una relaci´on lineal con la
1

velocidad v del objeto:
p = mv.

(1)

donde m es la masa newtoniana del objeto, el omento p es definido por
t

F · dt

p=

o

F =

t=0

dp
dt

(2)

donde F es la fuerza.
La analog´ıa 1 indica que la cantidad de impulso es an´aloga al flujo acumulado, por lo tanto una masa
de traslaci´on pura puedeser un almacenador de flujo con una relaci´on constitutiva y s´ımbolo mostrado en
la figura 1, notese que en la figura v1 2 es considerado positivo si hay un movimiento neto de la terminal
2 en la direcci´on indicada.
La masa newtoniana tiene una relaci´
on constitutiva intr´ınsecamente lineal y en consecuencia, la energ´ıa
almacenada U (energ´ıa cin´etica) y la co-energ´ıa U ∗ (co-energ´ıacin´etica) son iguales:
1
2
U = U ∗ = mv12
.
2

(3)

Figura 1. Traslaci´
on de una masa: s´ımbolo y relaci´on constitutiva.
La masa en movimiento de traslaci´
on ideal, sin resistencia est´a completamente descrita por el relaci´
on
din´amica (ecuaci´
on (2)) y la relaci´
on constitutiva (ecuaci´on (1)). Lo notable es pensar en el comportamiento de las masa como se especifica en Lasegunda ley de Newton es su linealidad. A partir de la
teor´ıa especial de la relatividad que se ha establecido que esto es s´olo una aproximaci´on que es v´
alida
para velocidades mucho menor que el velocidad de la luz. Cuando esta condici´on no prevalece la relaci´
on
constitutiva toma la forma
mv12
p=
(4)
2 /c2 )1/2
(1 − v12
donde c es la velocidad de la luz.

1.3.

Traslaci´
on...