Modelado

1.- Dados los sistemas siguientes, determine si son lineales o no lineales. Donde y (t) es la salida y x (t) la entrada.
a) Y(t) = tX (t)
Para determinar si es o no lineal, consideramos dosentradas arbitrarias X1(t) y X2(t).
X1(t)  Y1 (t) = tX1 (t) ; X2(t) -> Y2 (t) = tX2 (t)
Sea X3(t) una combinación lineal de X1(t) y X2(t). Esto es: X3(t) = aX1 (t) + bX2 (t) donde a y b son escalares.Si X3(t) es la entrada a S, entonces la salida correspondiente se expresa como:
Y3 (t) = tX3 (t) = t (aX1 (t) + bX2 (t) = atX1 (t) + btX2 (t) = aY1 (t) + bY2 (t)
Entonces concluimos que el sistema eslineal.
b) Y(t) = X^2(t)
Definiendo X1(t), X2(t) y X3(t) como en el ejemplo anterior, tenemos
X1(t)Y1 (t) = x1^2(t) X2(t) Y2 (t) = x2^2(t) y
X3(t) Y3 (t) = X3^2(t) = (aX1 (t) + bX2 (t)) ^2= a^2 X1^2(t) + b^2 X2^2(t) + 2abX1 (t) X2(t) =
a^2Y1 (t) + b^2Y2 (t) + 2abX1 (t) X2(t)
Claramente, podemos especificar que X1(t), X2(t), a y b tales que Y3 (t) no son lo mismo que aY1 (t) + bY2(t). Concluimos que el sistema no es lineal.
c) Y(t) = 4X(t) + 1
Este sistema no es lineal, lo verificaremos de la siguiente forma. Por ejemplo si X1(t) = 2 y X2(t) = 3, entonces:
X1(t)  Y1 (t) = 4X1(t) + 1= 9; X2(t)  Y2 (t) = 4X2 (t) + 1= 13.
Sin embargo, la respuesta a X3(t) = X1(t) + X2(t) es:
Y3 (t) = 4(X1(t) + X2(t)) + 1= 21.
La cual no es igual a Y1 (t) + Y2 (t) = 22.
2.- Obtenga unaecuación diferencial para describir el comportamiento del voltaje en el inductor del circuito mostrado a continuación, considere como variables de salida:
A ) vL(t), b) iL(t), c) vR(t)
V(t) Ecuaciones deelementos VR=iR R ; VL= L diL/dt ; iL= 1/L $ VL dt
Ecuaciones de interconexión
LVK V(t) - VR - VC=0 ; V(t) = VR+ VC LCK iR= iL
V(t) = iR R + VL como iR= iL V(t) = iL R + VL ;V(t) = Rc d/dt VL + VL
Normalizando V(t) / Rc = d/dt VL + 1/ RC (VL)
B ) VR(t)
Si tenemos VR = iR R ; iL = L d/dt ; VL = 1/L $ iL dt
C )V(t) = VR + VL iL = iR
v(t) = iR R + 1/L $ VL...