Modelamiento de un motor

http://www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/digital-1.html
Velocidad del Motor de CC : Modelación

El motor de CC es un actuador común en control sistemas. Provee movimiento rotatorio directamente y, acoplado con ruedas dentadas o poleas y cables, puede proveer movimiento transicional. El circuito eléctrico de la armadura y el diagrama de cuerpo libre del rotor se muestran en lasiguiente figura:

Para este ejemplo, asumimos los valores siguientes para los parámetros físicos. Estos valores se derivaron experimentalmente de un motor real del laboratorio de control para alumnos de grado del Carnegie Mellon.
* momento de inercia del rotor (J) = 0.01 kg.m^2/s^2
* coeficiente de amortiguamiento del sistema mecánico (b) = 0.1 Nms
* constante de fuerzaelectromotriz (K=Ke=Kt) = 0.01 Nm/Amp
* resistencia eléctrica (R) = 1 ohm
* inductancia eléctrica (L) = 0.5 H
* entrada (V): Fuente de Tensión
* salida (theta): posición del eje
* el rotor y eje se consideran rígidos
El torque del motor, T, se relaciona con la corriente de armadura, i, por un factor constante Kt. La fuerza contraelectromotriz (emf), e, se relaciona con lavelocidad de rotación mediante las siguientes ecuaciones

En unidades del sistema internacional SI (las que usaremos), la Kt (constante de armadura) es igual a Ke (constante del motor).
De la figura de arriba podemos escribir las siguientes ecuaciones basadas en la ley de Newton combinado con la ley de Kirchhoff:
:

1. Función de Transferencia
Usando Transformadas de Laplace, las ecuaciones delmodelo de arriba pueden expresarse en términos de s.

Eliminando I(s) podemos obtener la siguiente función de transferencia a lazo abierto , donde la velocidad de rotación es la salida y el voltaje es la entrada.

2. Espacio de Estado
En la forma espacio de estado, las ecuaciones de arriba pueden expresarse escogiendo la velocidad de rotación y corriente eléctrica como las variables deestado y la tensión como una entrada. La salida se elige que sea la velocidad de rotación.

Requerimientos de diseño
Primero, el motor sin compensar puede rotar solo a 0.1 rad/seg. con una tensión de entrada de 1 Volt (esto se demostrará luego cuando se simule la respuesta a lazo abierto). Como el requerimiento más básico de un motor es que debe rotar a la velocidad deseada, el error de estadoestacionario de la velocidad del motor debe ser menor que 1%. El otro requerimiento de performance es que el motor debe acelerarse hasta su velocidad de estado estacionario apenas se encienda. En este caso, queremos tener un tiempo de establecimiento de 2 segundos. Como una velocidad mayor que la referencia podría dañar el equipo, queremos tener un sobrepico menor que 5%.
Si simulamos la entrada dereferencia (r) con una entrada escalón unitario, entonces la salida velocidad del motor debería tener:
* Tiempo de establecimiento menor que 2 segundos
* Sobrepico menor que 5%
* error de estado estacionario menor que 1%
Representación en Matlab y respuesta a lazo abierto
1. Función de Transferencia
Podemos representar la función de transferencia anterior en Matlab definiendo lasmatrices numerador y denominador como sigue:

Cree un nuevo archivo-m e ingrese los siguientes comandos:
J=0.01;
b=0.1;
K=0.01;
R=1;
L=0.5;
num=K;
den=[(J*L) ((J*R)+(L*b)) ((b*R)+K^2)];
Ahora veamos qué hace el sistema original a lazo abierto. Agregue los siguientes comandosal final del archivo-m y ejecútelo en la ventana de comandos del Matlab:
step(num,den,0:0.1:3)
title('Respuesta al Escalón del sistema a lazo abierto')
Debería obtenerse la figura siguiente:

De la figura vemos que cuando se aplica 1 volt al sistema, el motor puede lograr solo una velocidad máxima de 0.1 rad/seg., diez veces menor que la velocidad deseada....