Modelo capm
i = 1 N
∑
Wi X i
N
:
~ E Rp =
~ ( ) ∑ Wi E ( Xi )
i= 1
~ ~ ~ VarR p = E R p − E R p
( ) [
( )]
2
N ~ = E ∑ Wi Xi − i= 1
~ Wi E Xi ∑ i= 1
N
( )
N
2
N ~ ~ = E ∑ Wi Xi − E Xi i= 1
[
( )]
2
N ~ ~ =E ∑ Wi Xi − E Xi i= 1
(
~ ~ ( ) ) ∑ Wj ( Xj − E ( Xj ) )
i= 1
N N ~ ~ ~ ~ = E ∑ ∑ Wi Wj Xi − E Xi Xj − E Xj i= 1 j= 1
(
( )(
( )
N N = E ∑ ∑Wi Wj Cov ( Xi, Xj ) i= 1 j= 1
N N = E ∑ ∑ Wi Wj σ i= 1 j= 1 % Var Rp = W T S W
( )
j =
σ σ S = . . σ
11 21
σ
12
........σ
N1
σ NN
1N
W1 . W= . WN
1
Apuntes preparados para el curso de Finanzas 1 Otoño 2009
Para encontrar la frontera eficiente de un portfolio con N activos, elproblema a resolver es:
2
Min σ S . a.
~ ( Rp ) ~ E ( Rp ) = K
Min ∑
N N
i= 1 j= 1
∑ WiWj σ ij ∑ ∑
N
Wi Ri = K Wi = 1
donde
~ Ri = E Xi
s.a.
j= 1 N
( )
⇒ hay ventacorta
i= 1
Aplicando el método de Lagrange L=
i= 1j= 1
∑ ∑
N
N
Wi Wj σ ij −
N N ~ λ ∑ Wi E Xi − k − µ ∑ Wi − i= 1 i= 1
( )
1
∂L =0 ∂ Wii = 1,...., N
∂L = 0 ∂λ
∂L = 0 ∂µ
N + 2 ec.uaciones N + 2 incognitas Pero
Se resuelve para Wi y se obtiene la Frontera Eficiente
∂L = ∂ Wi
∑
N
Wi σ ij − λ Ri − µ = 0
i =1,.....M
j= 1
Pero
∑
N
j= 1
Wj σ ij = W1 σ
i1
+ W2 σ
i2
+ .... + Wn σ
in
N = W1 Cov ( Ri, R1 ) + ...... + Wn Cov ( Ri, Rn ) = Cov Ri, ∑ Wj Rj j= 1 ∑
Luego
N
j= 1
Wj σ ij = Cov ( Ri, Rp )
∂L = Cov ( Ri, Rp ) ∂ Wi
−
λ Ri −
µ =0
⇒ Cov( Ri, Rp ) = 0
Si uno de los valores es un bono sin riesgo con rentabilidad Ri = RF ⇒...
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