Modelo de colas

MODELOS DE COLAS
En este tema se desarrollarán modelos sencillos para análisis de colas que permitan cuantificar el retardo y las prestaciones de los nodos de las redes de comunicación. Una característica clave de las redes de comunicación es la compartición de recursos tales como el ancho de banda, el almacenamiento y la capacidad de procesamiento. Como la demanda de estos recursos esimprevisible, se da el caso en que los recursos no están disponibles cuando el usuario haga la petición, lo que conduce a un retardo o la pérdida del servicio. 1. Análisis del retardo y fórmula de Little. 2.Llegada mensaje paquete o celda Caja de retardo Multiplexor Conmutador Red T segundos Pérdida o bloqueo Figura 1 La figura (1) muestra un modelo básico para un sistema retardo/pérdida.. Los clientesllegan al sistema de acuerdo con algún patrón de llegada, presentando peticiones de conexión mensajes individuales, paquetes o celdas. El sistema puede ser una línea de transmisión individual, un multiplexor, un conmutador o incluso una red completa. El cliente pasa algún tiempo T en el sistema y después de este tiempo el cliente sale del sistema. Es posible que bajo ciertas condiciones el sistemaesté en un estado de bloqueo, por ejemplo, debido a la falta de recursos. Los clientes que llegan al sistema cuando esté en este estado quedan bloqueados o se pierden. Salida mensaje, paquete o celda

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Nos interesan las siguientes medidas de prestaciones: 1) 2) 3) 4) Tiempo pasado en el sistema: T Número de clientes en el sistema: N(t) Fracción de clientes que llegan que se pierden o sebloquean: Pb Número medio de mensajes/segundo que pasan a través del sistema: rendimiento

Los clientes llegan de forma aleatoria al sistema y permanecen en él un tiempo también aleatorio. Sea A(t) el número de llegadas al sistema en el intervalo de tiempo de 0 a t. Sea B(t) el número de clientes bloqueados y D(t) el número de clientes que salen en el mismo intervalo de tiempo. El número declientes en el sistema en un instante t viene dado por : N(t) = A(t)-D(t)-B(t) ya que el número que ha entrado en el sistema hasta el instante t es A(t)-B(t) y ya que B(t) de esos clientes se han ido en el instante t. Se supone que el sistema está vacío en el instante t=0. A largo plazo la velocidad de llegada al sistema viene dada por : λ = limt→ϖ A(t)/t clientes/segundo El rendimiento del sistema esigual a la velocidad de salida a largo plazo, que viene dada por: Rendimiento = limt→ϖ D(t)/t clientes/segundo El número medio en el sistema viene dado por E[N] = limt→ω 1/t ∫ N(t´) dt´ clientes
0 t

La fracción de clientes bloqueados es por tanto Pb = limt→ϖ B(t)/A(t) A(t) n n-1 2 1 o τ1 τ2 τn figura (2) 238 t

La figura representa una función muestra típica A(t) que representa el número dellegadas al sistema. Se supone que se empiezan a contar los clientes en el instante t=0. El primer cliente llega en el instante τ1 y A(t) cambia de 0 a 1 en este instante. La llegada del n-ésimo cliente es en el instante τ1+ .....+ τn donde τi es el tiempo transcurrido entre la llegada del cliente i-1 y el i. La velocidad de llegada en el instante en el que el n-ésimo cliente llega viene dada porn/(τ1+ ....+ τn) clientes /segundo. Por tanto la velocidad de llegada a largo plazo viene dada por: λ = limt→ϖ n/ (τ1+.... + τn) = limt→ϖ 1/ (τ1+ ..... +τn)/n = 1/E[τ] Se supone que todos los tiempos entre llegadas son estadísticamente independientes y tienen la misma distribución de probabilidad y que el valor medio o esperado viene dado por E[t]; por tanto la velocidad de llegada viene dada porel recíproco del tiempo medio entre llegadas.

Fórmula de Little. Relaciona el tiempo medio pasado en el sistema E[T] y la velocidad de llegada λ con el número medio de clientes en el sistema E[N] por medio de la siguiente fórmula: E[N] = λE[T] Suponemos que el sistema no bloquea a ningún cliente, como se ve en la figura (3) El número en el sistema N (t) varía según A(t) – D(t). Supóngase que...