Modelo de diseños factoriales

Modelo de diseños factoriales y
diseños 2k
Introducción
En el tema anterior se analizaron la posible influencia de un factor sobre la variable
respuesta, aleatorizando las observaciones para eliminar el efecto de otros factores. En
este capítulo analizaremos modelos en los cuales dos o más factores pueden influir en la
variable respuesta. Se emplea la siguiente metodología:
1. Identificar losfactores que pueden influir en la variable respuesta y proponer un
modelo
2. Realizar el experimento, tomando las observaciones necesarias
3. Estimar los parámetros del modelo
4. Contrastar si los factores influyen en la respuesta
5. Si los factores influyen en la respuesta, detectar dónde radican las diferencias
6. Si algún factor no influye, simplificar el modelo y repetir los pasos anteriores7. Realizar la diagnosis del modelo mediante el análisis de los residuos
Un diseño factorial es aquél en el que se investigan todas las posibles combinaciones
de los niveles de los factores en cada ensayo completo. En este caso se dicen que están
cruzados, apareciendo el concepto de interacción.

1

Se supone la existencia de repeticiones del experimento en cada una de las posiblescombinaciones de los niveles del factor correspondiente.

Concepto de interacción
Para ilustrar de forma intuitiva lo que es la interacción vamos a tomar dos conjuntos
de datos. Consideramos dos factores: α (niveles α1 y α2 ) y β (niveles β 1 y β 2 ).
Primer caso: dos factores sin interacción. Los datos son:
α\β
α1
α2

β1
10
30

β2
20
40

El efecto principal del factor α es ladiferencia entre la respuesta promedio de α1 y
α2 :

Eα =

10 + 20 30 + 40
−
= −20
2
2

y el efecto principal del factor β es:

Eβ =

10 + 30 20 + 40
−
= −10
2
2

Ahora bien, para el nivel β 1 , el efecto del factor α es:

Eα |β 1 = 10 − 30 = −20
y para el nivel β 2 es:

Eα |β 2 = 20 − 40 = −20
De forma similar, los efectos del factor β para los niveles α1 y α2 son,respectivamente:

Eβ |α1 = 10 − 20 = −10
2

Eβ |α2 = 30 − 40 = −10
Entonces, el efecto de uno de los factores no depende de los niveles del otro factor, lo
cual indica que no hay interacción entre los factores. Cuando ambos factores tienen dos
niveles, el efecto de la interacción es la diferencia entre los promedios de las diagonales,
que es en este caso:

Eαβ =

10 + 40 30 + 20
−
=0
2
2lo que indica que no hay interacción. Los siguientes gráficos de perfil muestran la falta de
interacción ya que las rectas que aparecen son paralelas.

factor b
b1
b2

40

Respuesta

35
30
25
20
15
10
a1

a2

factor a

3

40

factor a
a1
a2

Respuesta

35
30
25
20
15
10
b1

b2

factor b

Segundo caso: dos factores con interacción. Los datos son:
α\βα1
α2

β1
10
30

β2
20
0

El efecto principal del factor α es

Eα =

10 + 20 30 + 0
−
=0
2
2

lo que indicaría que el factor α no tendría ningún efecto en la respuesta. Sin embargo,
para el nivel β 1 , el efecto del factor α es:
Eα |β 1 = 10 − 30 = −20
y para el nivel β 2 es:

Eα |β 2 = 20 − 0 = 20
Entonces, aunque el efecto principal indique que el factor α no influye enla respuesta,
el efecto que produce α depende del nivel seleccionado del factor β y se concluye que hay
interacción entre α y β.
4

El efecto de la interacción es en este caso:

Eαβ =

10 + 0 30 + 20
−
= −20
2
2

lo que indica que hay interacción. Los siguientes gráficos de perfil muestran la existencia
de interacción ya que las rectas que aparecen se cruzan entre sí.

factor aa1
a2

30

Respuesta

25
20
15
10
5
0
b1

b2

factor b

30

factor b
b1
b2

Respuesta

25
20
15
10
5
0
a1

a2

factor a

En este caso, la variable respuesta Y puede depender también de dos factores α y β,
pero éstos a su vez pueden potenciarse o interactuar.
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Para comprobar la existencia de interacción, se puede considerar el gráfico de residuos...