Modelo de Distribucion de modalidades

Probabilidad y Estadística: Guia de la Unidad # 2

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Fernando A. Contreras J.

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Fernando A. Contreras J.

“MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES”
Los modelos de distribución de probabilidades son funciones matemáticas
especiales (de variables aleatorias) que sirven para modelar determinados
“fenómenos aleatorios (fenómenos noDeterministicos)” o fenómenos que
dependen de condiciones aleatorias o del azar.
“MODELO UNIFORME”
Si la variable aleatoria “X” toma los valores x1, x 2, x3, … , x n con igual
probabilidad, entonces la distribución de probabilidades de “X” se modela a
través de la función de distribución de probabilidades definida por:

1
, si x = x 1, x 2, x3, … , xn
n

p(x) = P(X = x) = p(x ; n) =

0, si x toma otro valor
n: es el número de elementos de Ω
X: Cuenta el # de elementos de espacio muestral Ω

n

n

La media de este modelo es:  

 xi
i 1

n

y la varianza es:  2 

(x
i 1

i

 )2

n

“Ejemplo 1”: Supóngase que se analiza el fenómeno del lanzamiento de un dado.
Modele este fenómeno, luego calcule  y 2. Grafique también p(x) y F(x).“Desarrollo”
Se sabe que el espacio muestral de este experimento es Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
n = 6. y que cada elemento tiene la misma probabilidad, es decir,

1 1
 . Por lo
n 6

tanto, la función de distribución de probabilidades de “X” está definida por:

1

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p(x) = P(X = x) = p(x ; 6) =

1
6

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, si x = 1, 2, 3, 4,5, 6

0 , si x toma otro valor

Esto es: P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = P(X = 4) = P(X = 5) = P(X = 6) =
Además:

1
6

6



x
i 1

6

i



1 2  3  4  5  6
 3.5
6

6

2 

 ( x  3.5)
i 1

i

6

2



(1  3.5) 2  (2  3.5) 2  (3  3.5) 2  (4  3.5) 2  (5  3.5) 2  (6  3.5) 2
 2.92
6

La gráfica de p(x) es:

La gráfica de F(x)= P(X  x) es:

2

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“MODELO DE BERNOULLI”
Se dirá que un fenómeno aleatorio se comporta de manera que puede
modelarse a través del modelo de Bernoulli si en una ocurrencia, éste puede
generar solo dos resultados. La función de distribución de probabilidades de este
modelo es:
px(1 – p)1 – x , si x = 0 , 1p(x) = P(X = x) p(x ; p) =

0

, si x toma otro valor

X: Cuenta el # de éxitos en la única ejecución
Ocurrencia de un evento: Éxito
Fenómeno
Aleatorio

No Ocurrencia de un evento: Fracaso

p = La probabilidad de éxito = P(Éxito)
1 – p = La probabilidad de fracaso = P(Fracaso)
Nota: El éxito de la ejecución de acuerdo o en concordancia a la probabilidad pedida.

Luego, a través delmodelo, se puede calcular las probabilidades de fracaso
“p(0;p)” y éxito “p(1;p)”. En efecto:
P(Fracaso) = P(X = 0) = p(0 ; p) = p0(1 – p)1 – 0
P(Éxito) = P(X = 1) = p(1 ; p) = p1(1 – p)1 – 1
Gráficamente se tiene (haciendo q = 1 – p):

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La media de este modelo es:  = p
La varianza de este modelo es: 2 =p(1 – p) = pq
“Ejemplo 2”: Supóngase que se analiza el fenómeno del lanzamiento de una
moneda. Modele este fenómeno aleatorio, si el éxito es obtener cara. Calcule la
media  y la varianza 2.
“Desarrollo”

Sale cara: Éxito
Lanzamiento
de una
moneda

No sale cara: Fracaso

Se tiene que p = P(Éxito) = P(Salga cara) =
modelo queda de la forma:

1
2

1
. De ahí, que el
2

 p=

X: Cuenta el # de caras en la única ejecución
Luego:
10

0

1
 1 1 
P(Sale sello) = P(X = 0) = p 0;     1  
2 2 
2




P(Sale cara) = P(X = 1) = p1;

1

1
2



1
2

11

1 1 
1
    1  
2 2 
2

4



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Gráficamente se tiene:...