Modelo De Efectos Aleatorios

MODELO DE EFECTOS ALEATORIOS:
En general, hemos considerado que los efectos de un modelo eran especificados por el experimentador y sus niveles fijados en función de las características de los mismos. Los niveles de estos efectos (fijos) incluyen la totalidad de las posibilidades y se definen por el experimentador. En los modelos de efectos aleatorios, los niveles de cada efecto son resultado deuna selección al azar, es decir el experimentador, selecciona al azar “a” del total de niveles del factor: Por ejemplo, el efecto Hospital en la evaluación de un tratamiento puede incluir tres hospitales seleccionados al azar entre los hospitales de una determinada comunidad. Las conclusiones alcanzadas serán válidas respecto a la población completa de los niveles del factor.El modelo estadísticolineal es: yij=μ+τi+ϵij , i=1,2,….., a ,j=1,2,….., n
yij: Es la j- ésima observación del i-ésimo tratamiento.
μ: Media global ,τi: Efecto del i- ésimo tratamiento,ϵij: Error aleatorio.
Supuestos:ϵij ~NID0, σ2 ,τi ~NID0, στ2 Además τi y ϵij son variables aleatorias independientes.
Vyij=στ2+σ2. στ2 y σ2 se llaman componentes de varianza.
SST=SSTratamientos(entre)+SSE(dentro)
lahipótesis a probar es: H0:στ2=0 (tratamientos =s)
H1:στ2>0(variabilidad entre tratamientos)
SSEσ2~χN-a2 y SSTratamientosσ2~χa-12
F0=SSTratamientosσ2a-1SSEσ2N-a=SSTratamientosa-1SSEN-a=MSTratamientosMSE ~ F(a-1, N-a)
para mostrar que Fo es una estadística de prueba apropiada para la hipótesis planteada.
EMSTratamientos=E1a-1i=1aj=1nyi.-y..2=E1a-1(i=1ayi.2-Ny..2)
=Ei=1ayi.2n-y..2N=1a-1E1ni=1a(j=1nμ+τi+ϵij)2-1N(i=1aj=1nμ+τi+ϵij)2
Reemplazamos los términos que involucra a τi2 por στ2, cuando E(τi)=0 y también j=1nϵij2 ,i=1aj=1nϵij2 y i=1aj=1nτi2 por nσ2, anσ2, an2στ2 respectivamente.
= 1a-1Nμ2+Nστ2+aσ2-Nμ2-nστ2-σ2
EMSTratamientos=σ2+nστ2
Del mismo modo se procede para MSE : EMSE=σ2
si se acepta la hipótesis nula MSE y MSTratamientos son estimadores insesgados de σ2. tabla devarianza para este modelo es idéntico al de efectos fijos. Ademas: σ2=MSE, στ2=MSTratamientos-MSEn. Cuando se tiene tamaños de muestra desiguales se reemplaza n por
n0=1a-1i=1ani-i=1ani2i=1ani
Ejemplo: Una textil produce una fibra en un gran numero de telares. La compañía esta interesada en la variabilidad de la resistencia a la tension entre los telares. Para ello un investigador seleccionacuatro telares al azar y realiza cuatro determinaciones de resistencia en muestras de fibra elegidas al azar en cada telar:
Telar | Observaciones | Total | Promedio |
| 1 | 2 | 3 | 4 | | |
1 | 98 | 97 | 99 | 96 | 390 | 97.5 |
2 | 91 | 90 | 93 | 92 | 366 | 91.5 |
3 | 96 | 95 | 97 | 95 | 383 | 95.8 |
4 | 95 | 96 | 99 | 98 | 388 | 97.0 |
  |   |   |   |   | 1527 | 95.4 |

Fuente devariacion | Suma de cuadrados | Grados de libertad | Media Cuadratica | F0 |
| | | | |
Telares | 89.19 | 3 | 29.73 | 15.68 |
Error | 22.75 | 12 | 1.90 |   |
Total | 111.94 | 15 |   |   |
F(a-1, N-a) = F(3, 12) =3.49, rechaza la hipotesis nula,los telares difieren significativamente en su capacidad para producir fibra de resistencia uniforme. Estimaremos las componentes de lavarianza
σ2=MSE=1.90, στ2=MSTratamientos-MSEn=27.834=6.96 , entonces tenemos: Vyij=στ2+σ2=6.96+1.90=8.86 .La mayor parte de la variabilidad se atribuye a diferencias entre los telares.

DISEÑO DE BLOQUE ALEATORIO:
* Diseño y Analisis estadítico:
El error experimental se puede reducir,liberando de factores extraños ie dividiendo a las observaciones en bloques. Es un procedimiento para comparar.consiste en seleccionar b bloques para investigar un solo factor con a niveles, es decir habrá a observaciones en cada bloque y el orden en el cual estas observaciones se ejecutan, se asigna al azar dentro del bloque. yij=μ+τi+βj+ϵij , i=1, 2,….., a, j=1,2,….., b
yij: Es la observación en el j- ésimo bloque del i-ésimo tratamiento.
μ: Media global,τi: Efecto del i- ésimo tratamiento,...