Modelo de ising - fisica estadistica
N 1 X
(1)
H=J
i i+1 :
hi=1i
La función de partición toma entonces la forma X X 8 < :
N 1 X
(2)
ZN =
exp
J
i
1= 1
N= 1
hi=1i
El último espín aparece sólo una vez en la sumaen la exponencial, luego independientemente del valor de N 1 (3) X e
J
N 1 N
9 = i+1 : ;
= 2 cosh J:
N= 1
De aquí deducimos la relación (4) ZN = [2 cosh J] ZN
1:
Si repetimos elproceso obtenemos (5) donde Z2 =
1= 1
En consecuencia, (6)
P
2= 1
P
ZN = (2 cosh J)N e
J
1 2
2
Z2 ;
= 2 cosh J = 4 cosh J.
ZN = 2 (2 cosh J)N
1
:
Luego, la energíalibre es dada por (7) G = kB T ln ZN = kB T [ln 2 + (N
1) ln(2 cosh J)]
Ahora bien, en el límite termodinámico sólo el término proporcional a N es importante, de modo que (8) G= N kB T ln(2 coshJ):
1
2
Consideremos el caso con campo magnético externo. El Hamiltoniano de Ising correspondiente toma ahora la forma: X
hi ji N X i=1
(9)
H=
J
i j
h
i:
Aparte de susimpleza y enfoque clásico, la función de partición con el Hamiltoniano de Ising puede ser calculada analíticamente en forma exacta sólo en una dimensión, o en dos dimensiones pero con h = 0. Paraevaluar la función de partición en una dimensión consideraremos condiciones de borde periódicas, es decir i + N = i. La función de partición es luego X X ( "
N X i=1
(10)
ZN =
exp
J
i
1=1
N= 1
h i+1 + ( 2
i
+
i+1 )
#):
Notar el factor 1=2 en el segundo término de la exponencial que evita contar dos veces el mismo sitio. La …gura siguiente muestra una con…guraciónparticular de la cadena uni-dimensional con condiciones de borde periódicas. Es conveniente ahora introducir la matriz de transferencia (11) P= P11 P1 1 P 11 P 1 1 Donde (12) P P P11 = e
1 1 11...
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