Modelo de Muskigum

21-Oct.-15

Transito de crecientes
COEFICIENTES DE MUSKINGUM
FABIAN MALAVER
LILIANA ROJAS

1 CONCEPTOS TEÓRICOS
Si en el deposito de la figura se produce un aumento brusco del caudal de entrada, ese aumento se
reflejara en la salida atuenuado y retardado.

Figura 1: Efecto de retardo y atenuacion en un hidrograma entre la entrada y la salida (Sanchez San Roman, 2013)

A lo largo de un canal seproduce un efecto similar: Supongamos que en el extremo de un canal seco
arrojamos un volumen de agua. El hidrograma generado será incialmente más alto y de menor duracion
y a medida que avanza, el mismo volumen pasará por los puntos B y C cada vez con un hidrograma
másaplanado. Suponemos que no existe pérdida de volmen por infiltracion o evaporaacion, de modo
que el area comprendida bajo loshidrogramas será identica. En este caso, el retardo será el
correspondiente al recorrido del agua a lo largo del canal

Figura 2: Efecto del tránsito a lo largo de un canal o rio (Sanchez San Roman, 2013)

El hidrograma de salida equivale al hidrograma del punto C, transitando e a lo largo del canal el hidrograma
del punto A, que es el hidrograma de entrada. Considerando, por ejemplo un depósito en elque hay un

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ingreso, una salida y un volumen de almacenamiento, para un ∆𝑡 se cumple, por el principio de
conservación de masa, que
𝐼−𝑂 =

𝑆𝑖 − 𝑆𝑖−1
∆𝑡

Figura 3: Variación en el almacenamiento de un deposito entre dos tiempos consecutivos

Considerando que los caudales no son necesariamente constantes, se puede considerar la media de los
valores al inicio y al final de ∆𝑡, es decir:𝐼𝑖−1 + 𝐼𝑖 𝑂𝑖−1 + 𝑂𝑖 𝑆𝑖 − 𝑆𝑖−1
−
=
2
2
∆𝑡

1.1 MÉTODO DE MUSKINGUM
EL método de Muskimgun fue propuesto por el S.C.S del distrito de Muskingum (Ohio, USA) y es uno de
los metodos simplificados más populares para el transito de hidrogramas, por si sencilles y utilidad a la
hora de evaluar avenidas. El método asume el almacenamiento 𝑆(𝑡) en un tramo de río como una
funcion del caudal
𝑆 = 𝐾[𝑋𝑄𝑖 + (1 − 𝑋)𝑄𝑢 ]
Endonde K es un coeficiente de proporcionalidad y X un factor que varía en el dominio 0 ≤ 𝑋 ≤ 0.5.

Figura 4: Almacenamiento en un cauce segun el método de Muskingum (Sanchez San Roman, 2013)

Si se define como volumen de referencia la cantidad de agua contenida entr una linea paralela al fondo
del cauce y el fondo mismo, medida por el volumen del prisma que esto forma 𝑆𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 = 𝐾𝑂, la21-Oct.-15
variacion del volumen acumulado esta dada por el volumen de la cuña sobre este, es decir se puede
definir con la relacion 𝑆𝑐𝑢ñ𝑎 = 𝑏(𝐼 − 𝑂), en donde
𝑆 = 𝑎𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑟í𝑜
𝐼 = 𝐶𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜
𝑂 = 𝐶𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜
𝐾 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 𝑎𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎
𝑏 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 𝑎𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢ñ𝑎
Sumandolas dos expresiones se obtiene
𝑆 = 𝑆𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 + 𝑆𝑐𝑢ñ𝑎
= 𝐾𝑂 + 𝑏(𝐼 − 𝑂) = 𝑏𝐼 + (𝐾 − 𝑏)𝑂
𝑏
𝐾−𝑏
𝑏
𝑏
= 𝐾[ 𝐼 +
𝑂] = 𝐾 [ 𝐼 + (1 − ) 𝑂]
𝐾
𝐾
𝐾
𝐾
Si denominamos 𝑋 a la relacion 𝑏/𝐾 entre las dos constantes consideradas en las ecuaciones, resulta la
expresion funcion del caudal de la que hablabamos al inicio y que define el método de Muskingum
𝑆 = 𝐾(𝑋𝐼 + (1 − 𝑋)𝑂)
La derivada de 𝑆 respecto al tiempo 𝑑𝑆/𝑑𝑡 sepuede escribir como la diferencia finita entre dos
instantes de tiempo i y i-1 separados entre si un ∆𝑡
𝑑𝑆 𝑆 𝑖 − 𝑆 𝑖−1 𝐾{[𝑋𝐼𝑖 + (1 − 𝑋)𝑂𝑖 ] − [𝑋𝐼𝑖−1 + (1 − 𝑋)𝑂𝑖−1 ]}
=
=
𝑑𝑡
∆𝑡
∆𝑡 𝑖
Por la ecuacion de continuidad
𝑑𝑆
= 𝐼(𝑡) − 𝑂(𝑡)
𝑑𝑡
tenemos
𝐼(𝑡) − 𝑂(𝑡) =

𝑆 𝑖 − 𝑆 𝑖−1 𝐾{[𝑋𝐼𝑖 + (1 − 𝑋)𝑂𝑖 ] − [𝑋𝐼𝑖−1 + (1 − 𝑋)𝑂𝑖−1 ]}
=
∆𝑡
∆𝑡 𝑖

Solucionando obtenemos
𝑂𝑖 = 𝐶1 𝐼𝑖 + 𝐶2 𝐼𝑖−1 + 𝐶3 𝑂𝑖−1
𝐶1 =

∆𝑡 − 2𝐾𝑋
2𝐾(1 − 𝑋)+ ∆𝑡

𝐶2 =

∆𝑡 + 2𝐾𝑋
2𝐾(1 − 𝑋) + ∆𝑡

𝐶3 =

2𝐾(1 − 𝑋) − ∆𝑡
2𝐾(1 − 𝑋) + ∆𝑡

Con 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 = 1y el dominio de ∆𝑡esta dado por el intervalo 𝐾/3 ≤ ∆𝑡 ≤ 𝐾
Basados en las ecuaciones anteriores se puede calcular K como

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𝐾=

0.5∆𝑡((𝐼𝑖 + 𝐼𝑖−1 ) − (𝑂𝑖 + 𝑂𝑖+1 ))
[𝑋(𝐼𝑖 − 𝐼𝑖−1 ) + (1 − 𝑋)(𝑂𝑖 − 𝑂𝑖−1 )]

(𝐸𝑐. 1)

Mientras que X puede ser calculada al tanteo como el valor que conciente...