Modelo De Regresion Simple

Tema 3. Modelo de regresi´n simple
o

Estad´
ıstica (CC. Ambientales). Profesora: Amparo Ba´
ıllo

Tema 3: Regresi´n simple
o

1

Introducci´n
o
Objetivo del modelo de regresi´n simple:
o
Explicar el comportamiento de una variable cuantitativa de inter´s
e
Y (consumo de gasolina de un coche h´
ıbrido, temperatura del
agua marina) como funci´n de otra variable cuantitativa Xo
observable (velocidad del veh´
ıculo en ciudad, profundidad a la que
se observa la temperatura del agua).
Y = variable respuesta, end´gena o dependiente
o
X = regresor, predictor, variable explicativa, ex´gena o
o
independiente
Estudiaremos principalmente el modelo de regresi´n lineal simple,
o
en el que se expresa Y como funci´n lineal de X .
o

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ıllo

Tema 3: Regresi´n simple
o

2

El modelo

Dise˜o fijo y aleatorio
n
En el dise˜o aleatorio tomamos una muestra (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn )
n
de una poblaci´n (X , Y ) donde X es una variable aleatoria (los
o
valores observados de X no est´n prefijados de antemano).
a
(X , Y ) =(Estatura en cm,Peso en kg) de un estudiante
universitario elegido alazar.
(X , Y ) =(Nivel de un cierto contaminante,Mortalidad) en una
ciudad elegida al azar.
En este caso el modelo de regresi´n establece una expresi´n para la
o
o
funci´n de regresi´n E (Y |X = x ).
o
o

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Tema 3: Regresi´n simple
o

3

Ejemplo 3.1: Se desea estudiar la relaci´n entre la anchura X (en
o
mm.) y lalongitud Y (en mm.) de la concha del Patelloida
pygmaea, una lapa pegada a las rocas a lo largo de las costas
protegidas en el ´rea Indo-Pac´
a
ıfica. Se observan los datos:
X
0.9
1.5
1.6
1.7
1.7
1.8
1.8

Y
3.1
3.6
4.3
4.7
5.5
5.7
5.2

X
1.9
1.9
1.9
2.0
2.0
2.0
2.1

Y
5.0
5.3
5.7
4.4
5.2
5.3
5.4

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ıllo

X2.1
2.1
2.1
2.2
2.2
2.2
2.2

Y
5.6
5.7
5.8
5.2
5.3
5.6
5.8

X
2.3
2.3
2.3
2.3
2.4
2.4
2.7

Tema 3: Regresi´n simple
o

Y
5.8
6.2
6.3
6.4
6.4
6.3
6.3

4

En el dise˜o fijo prefijamos unos valores x1 , . . . , xn de la variable
n
X . Para cada xi tomamos una o varias observaciones de Y .
(X , Y ) =(profundidad en m. del agua marina,temperatura en o C
delagua a esa profundidad)
xi
yi

100
22

200
20

500
12

1000
6

1500
5

2000
4

El modelo de regresi´n en este caso establece una expresi´n para
o
o
E (Yi ), el valor esperado de Y cuando el valor prefijado de X es xi .
Si todos los xi est´n a la misma distancia entre s´ se trata de un
a
ı
dise˜o fijo equiespaciado.
n
El tratamiento estad´
ıstico de ambos dise˜os esparecido, aunque la
n
notaci´n sea diferente. A menudo, por simplicidad, utilizaremos la
o
notaci´n del dise˜o fijo aunque el dise˜o del experimento sea
o
n
n
aleatorio.
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Tema 3: Regresi´n simple
o

5

El modelo de regresi´n lineal simple
o
Dise˜o fijo:
n
Yi = β0 + β1 xi + Ui

Dise˜o aleatorio:
n
(Y |X = xi ) = β0 + β1xi + Ui

donde β0 y β1 son respectivamente la ordenada en el origen y la
pendiente de la recta de regresi´n. Ui es un t´rmino de
o
e
perturbaci´n o error experimental.
o
Interpretaci´n de los par´metros de la regresi´n:
o
a
o
β0 representa el valor medio de la respuesta Y cuando la variable
explicativa X vale 0.
β1 representa la variaci´n que experimenta en media la respuesta
o
Ycuando la variable explicativa X aumenta en una unidad.

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o

6

Hip´tesis b´sicas del modelo:
o
a
a) E (Ui ) = 0, para cada i = 1, . . . , n.
b) Var(Ui ) = σ 2 , para cada i = 1, . . . , n.
c) E (Ui Uj ) = 0 , para todo i = j .
d) Ui ∼ Normal, para todo i .
Adem´s en el dise˜o aleatorio...