Modelo Hull & White Bajo La Estructura Forward.

Modelo Hull & White bajo la estructura forward.
Cienfuegos Blancas L. Guadalupe. Godoy Aguilar Angel Manuel.
Finanzas Matem´ ticas - Derivados en tiempo continuo. a Profesor: Gerardo Rubio Hern´ ndez. a Facultad de Ciencias, UNAM 2010

Determinaci´ n de los par´ metros del Modelo Hull & White o a bajo la estructura forward.
El modelo Hull & White es una extensi´ n del modelo Vasicek dondese pretende modelar la o tasa spot mediante la Q-din´ mica (medida de riesgo neutral) siguiente: a dr(t) = [θ(t) − ar(t)]dt + σ(t, r)dw(t)

donde a y σ son constantes y θ(t) es una funci´ n del tiempo no aleatoria que pretende ino corporar la informaci´ n del mercado a trav´ s de las condiciones iniciales del modelo. Nuestro o e primer objetivo ser´ encontrar como queda determinada, esta funci´n, mediante una estruca o tura forward. De manera general, la estructura temporal afin queda caracterizada conforme a la siguiente proposici´ n. o Proposici´ n 1.0.1 Estructura Temporal Af´n. Asumamos que µ y σ son de la forma, o ı µ(t, r) = α(t)r(t) + β(t) √ σ(t, r) = γ(t)r(t) + δ(t) Entonces adminte una ATS de la forma F(t, r, T ) = eA(t,T )−B(t,T )r(t) donde A Y B satisfacen el sistema BT (t, T) + α(t)B(t, T ) − 1 γ(t)B2 (t, T ) = 2 B(T, T ) = AT (t, T ) − β(t)B(t, T ) + 1 δ(t)B2 (t, T ) = 2 A(T, T ) = −1 0 0 0

1

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Recoredemos que la forma de µ y σ dan las condiciones para garantizar la existencia de las ´ funciones A y B, ie, si estas son afines (lineales mas una constante) funciones de r, quiz´ dea pendientes del tiempo, entonces las condiciones para A y B son ecuacionesdiferenciales seprarables. De donde para nuestro modelo: α(t) β(t) γ(t) δ(t) = = = = −a θ(t) 0 σ2

y p(t, T ) = eA(t,T )−B(t,T )r(t)

donde A y B cumplen BT (t, T ) = B(T, T ) = AT (t, T ) = A(T, T ) = aB(t, T ) − 1 0 θ(t)B(t, T ) − 1 σ2 B2 (t, T ) 2 0

de ah´ que, las soluciones a estas ecuaciones para el modelo Hull & White est´ n dadas por ı a { } B(t, T ) = 1 1 − e−a(T −t) a A(t, T ) = ∫T {1
t 2σ 2 2

} B (s, T ) − θ(s)B(s, T ) ds

Ahora queremos ajustar los precios te´ ricos sobre los precios observados convenientemeno te usando las tasas forward. Para lo cual, recordemos la relaci´ n dada por las tasas forward y o los precios de los bonos, mediante el siguiente Lema: Lema 1.0.2. Para t ≤ s ≤ T tenemos   T   ∫       f (t, u)du p(t, T ) = p(t, s)exp −      
s    ∫T     en particular p(t, T ) = exp − f (t, u)du    
t

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Puesto que hay una correspondencia uno a uno entre las tasa forward y los precios de los bonos, de acuerdo al anterior Lema, podemos ajustar una curva de tasas dorward { f (0, T ) : T ≥ 0} a la curva observada { f ∗ (0, T ) : T ≥ 0 } donde f ∗ est´ definida por a ∂logp∗ (t, T ) ∂T

f ∗ (t, T ) = −

As´ encualquier modelo af´n las tasas forward est´ n dadas por ı ı a

p(t, T ) = logp(t, T ) = − ∂logp (t,T ) ∂T
∗

eA(t,T )−B(t,T )r(t) A(t, T ) − B(t, T )r(t) AT (t, T ) − BT (t, T )r(t)

=

Por lo tanto, nuestra tasa forward, esnterminos de las funciones A y B queda definida por:

(1)

f (t, T ) = AT (t, T ) − BT (t, T )r(t)

Por otro lado sustituyendo B en A se tiene que: ∫T { 1
tA(t, T ) =

2 2σ

( {
1 a

1 − e−a(T −t) )2

})2

− θ(s) (

( {
1 a

1 − e−a(T −t) )}

})}

ds

=

∫T { σ2 (
t 2a2

1 − e−a(T −t)

−

θ(s) a

1 − e−a(T −t)

ds

Calculando las derivadas parciales de A y B obtenemos:

BT (t, T ) = e−a(T −t)

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AT (t, T ) = =

∂A(t,T ) ∂T ∂ ∂T

∫T { σ2 (
t ∂ ∂T 2a2

1 − e−a(T −s)

)2

−

θ(s) a

(

1 − e−a(T−s)

)} )}

ds

=

∫T
t

{

σ2 2a2

(

1 − e−a(T −s)

)2

−

θ(s) a

(

1 − e−a(T −s)

ds

=

)( ) ( ) } ∫T { σ2 ( 2 1 − e−a(T −s) −e−a(T −s) (−a) θ(s) −e−a(T −s) (−a) ds a 2a2
t

=

∫T { σ2 (
a t

} ) 1 − e−a(T −s) e−a(T −s) − θ(s)e−a(T −s) ds

=

∫T
t σ2 a2

σ2 a

( ) ∫T e−a(T −s) − e−2a(T −s) ds − θ(s)e−a(T −s) ds
t

=

(

e−a(T −s) −...