Modelo lineal

El modelo de regresión lineal simple
Alfonso Novales
Departamento de Economía Cunatitativa
Universidad Complutense
Septiembre 2008

Contents
1 El modelo de regresión lineal
1.1 El modelo de regresión lineal simple. . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Componentes del modelo de regresión . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Supuestos del modelo de regresión lineal . . . . . . . . . . . . . .1
3
4
8

2 El estimador de Mínimos Cuadrados Ordinarios
11
2.1 Esperanza matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Matriz de covarianzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 El modelo de regresión lineal en desviaciones respecto de la
media
21
4 Estimación de la varianza del término de error o perturbación
aleatoria del modelo
22
5E…ciencia
6
6.1
6.2

1

24

Propiedades adicionales del coe…ciente de determinación 28
Expresión alternativa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Relación con el coe…ciente de correlación lineal en un modelo de
regresión lineal simple: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

El modelo de regresión lineal

El objeto básico de la Econometría consiste en especi…car yestimar un
modelo de relación entre las variables económicas relativas a una determinada
cuestión conceptual. Por ejemplo, para conocer en profundidad el comportamiento del consumo privado agregado de un país, será preciso especi…car y estimar un modelo de relación entre observaciones temporales de consumo privado
y renta disponible. De modo similar, para analizar si la expansión monetaria1

en un país ha sido in‡
acionista, será preciso especi…car y estimar un modelo de
relación entre las tasas de in‡
ación y las tasas de crecimiento históricas de algún
agregado monetario. En su forma más general y, por tanto, más abstracta, tal
modelo de relación puede representarse como:
Y = f (X1 ; X2 ; X3 ; :::; Xk ; )
donde Y es la variable cuyo comportamiento se pretende explicar,y X1 ; X2 ; :::; Xk
son las distintas variables que se suponen potencialmente relevantes como factores explicativos de la primera. El vector denota una lista de parámetros que
recogen la magnitud con que las variaciones en los valores de las variables Xi se
transmiten a variaciones en la variable Y .
Vamos a limitarnos aquí al estudio de modelos de relación o modelos de
regresión lineales, esdecir, del tipo:
Y =

0

+

1 X1

+

2 X2

+

3 X3

+ ::: +

k Xk

en el que resulta evidente que los parámetros transmiten directamente efectos
inducidos por los valores de las variables Xi sobre la variable Y , que se pretende
explicar.
La estimación de tales relaciones se efectúa a partir de información
muestral acerca de los valores tomados por Y; X1 ; X2 ; :::; Xk ,y trata de cuanti…car la magnitud de la dependencia entre ellas.
Con objeto de ganar precisión y aprender más acerca del proceso de relación
entre las variables consideradas querremos evaluar críticamente la validez de las
hipótesis propuestas por la Teoría Económica acerca de las relaciones estimadas
que, en ocasiones, consistirán en si determinada variable explicativa entra o no
en larelación que se analiza, o si aparece con un determinado coe…ciente, por
ejemplo, 1 ó -1. Ejemplos del primer tipo son las cuestiones:
1)
¿In‡
uye el dé…cit sobre los tipos de interés?
2)
¿Afecta el precio de la competencia a la demanda de nuestro producto?
mientras que ejemplos del segundo tipo son:
3)
¿Es el crecimiento monetario neutral, es decir, incide con coe…ciente
unitario sobre lain‡
ación?
4)
¿Tiene la demanda de nuestro producto elasticidad-precio unitaria?
es decir, ¿el efecto de un aumento de un 10% en el precio es una caída del 10%
en la demanda?
Estos son problemas de inferencia estadística, similares a los que resolvimos para contrastar hipótesis acerca de la esperanza o la varianza, desconocidas,
de una determinada distribución de probabilidad. Por último,...