Modelo Matemático Lotka-Volterra.

Modelo matemático Lotka-Volterra.
El matemático italiano Volterra, después de haberse interesado por la ecología matemática y haber sido estimulado por su amigo zoólogo Humberto D' Ancona, estudio los registros de las pesquerías del Mar Adriático Superior y observó que, durante y después de la Segunda Guerra Mundial, cuando la pesca había disminuido drásticamente, la proporción de losdepredadores había aumentado.
Este hecho lo llevo a estudiar ese problema de una manera más general, logrando construir la primer teoría determinista sistematizada de la dinámica de poblaciones.
* Oscilaciones en las relaciones presa-depredador de Volterra.
Para iniciar su investigación matemática estableció ciertas cosas:
 Que la especie depredadora se alimentaba exclusivamente de la especiepresa, mientras que ésta se alimentaba de un recurso que se encontraba en el hábitat en grandes cantidades, el cual solo intervenía así ( pasivamente).
 Que ambas poblaciones eran homogéneas, es decir, no intervenían factores como la edad o el sexo.
 Que, así mismo, el medio era homogéneo, es decir, que las características físicas, biológicas entre otras, eran las mismas en el hábitat.
 Y quelos encuentros de la especie depredadora con las especie presa eran igualmente probables.
Siendo así, se encontró con que solo existían dos variables : el tamaño poblacional de la especie depredadora y el de la especie presa. Así mismo, supuso que ambos tamaños poblacionales dependían exclusivamente del tiempo y no de alguna otra variable especial.
Determino que si no existiesen depredadores,la población de presas crecería malthusianamente , es decir:

mientras que si ni hubiese presas, la especie depredadora decrecería, también siguiendo un modelo maltusiano, es decir:

Ahora bien, dado que la interacción beneficia a la especie depredadora y perjudica a la presa, él supuso que seria necesario modificar a los depredadores en un termino que diera cuenta del perjuicio para una y delbeneficio para la otra, lo que tendría que ser :

Luego entonces, Volterra se topo con el problema de encontrar una forma analítica para cada termino que aparece entre corchetes y, basándose en el argumento de que cuantos más encuentros por unidad de tiempo haya entre individuos de la especie presa con la especie depredadora, mayor ha de ser el perjuicio de unos y el beneficio de otros; llego ala conclusión de que el numero de encuentros por unidad de tiempo entre presas y depredadores, es proporcional al producto algebraico de sus respectivas densidades poblacionales, es decir:
[Numero de encuentros por u. de t.] x(t)y(t)
He incorporó esto en las dos ecuaciones anteriores :

donde a es la tasa instantánea de aumento de presas en ausencia de depredadores; mientras que c es la tasainstantánea per capita de disminución de ,depredadores en el caso de ausencia de presas. Originalmente Volterra interpreto esto diciendo que :
“...los parámetros constantes a y c representan la razón de nacimiento y muerte de las dos especies; mientras que b mide la susceptibilidad de la especie presa a la depredación y d mide la habilidad de depredación de esta especie. Las constantes b y d sonla proporción de encuentros perjudiciales para las presas y la correspondiente de encuentros benéficos para los depredadores, respectivamente...”
Y así logro afirmar que en una interacción presa-depredador descrita en las ecuaciones anteriores, el tamaño de la especie presa y el de la especie depredadora, cambian periódicamente al aumentar el tiempo lo que en términos geométricos sería: *Ladinámica de las presas.-

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*La dinámica de los depredadores.-

Volterra, basándose en esto, formulo la ley que posteriormente se llamaría Ley de la periodicidad de Volterra, la cual dice que “el cambio de los tamaños poblacionales de ambas especies (presa y depredadora) son periódicos y el periodo depende solamente de a, b, c y d del tamaño inicial de las dos especies...”. Para el caso de...