Modelo matematico de la cinematica inversa

MODELO MATEMATICO DE LA CINEMATICA INVERSA DE UN ROBOT SCARA




CINEMATICA INVERSA

La Cinemática inversa (IK) es la técnica que permite determinar el movimiento de una cadena de articulaciones para lograr que un actuador final se ubique en una posición concreta. El cálculo de la cinemática inversa es un problema complejo que consiste en la resolución de una serie de ecuaciones cuyasolución normalmente no es única.
Una figura articulada consta de un conjunto de segmentos rígidos conectados mediante articulaciones. Los múltiples ángulos que pueden adoptar estas articulaciones permiten un número indefinido de configuraciones o posiciones de la figura. La solución al problema cinemático inverso consiste en encontrar los valores que deben adoptar las coordenadas articulares delrobot q = [q1, q2, . . . , qn] para que su extremo se posicione y oriente según una determinada configuración deseada. En general no existe una solución única para este problema, incluso puede no existir. La búsqueda de la solución suele realizarse mediante el uso de técnicas numéricas iterativas como por ejemplo Método de Newton. Esto puede resultar en cálculos lentos, por lo que habitualmente en unaimplementación real se acota el tiempo máximo (o iteraciones) que debe realizar el algoritmo de búsqueda. En otros casos, para robots con pocos grados de libertad, existen soluciones analíticas mediante el uso de métodos geométricos, que consisten en la utilización de las relaciones trigonométricas y la resolución de los triángulos formados por los elementos y articulaciones del robot.
Enresumen podemos decir que la cinemática inversa lo que hace es buscar los movimientos y gestos más adecuados que deben tener las articulaciones para que al final todo el sistema articulado llegue a la posición deseada. Por ejemplo si se quiere controlar el movimiento de un brazo mecánico cuyo sistema articulado completo constaría de un antebrazo, brazo y al final del sistema una especie de mano. Pormedio de unas coordenadas cartesianas se puede hacer por ejemplo que el brazo se mueva tantos centímetros a la derecha, luego tantos milímetros al centro etc. Pero en si lo que la cinematica inversa nos puede ayudar es determinando cuantos grados se debe mover el brazo con respecto al antebrazo, cuantos grados debe moverse la mano con respecto al brazo etc.

La cinemática inversa que mejor sepuede explicar es la que se aplica al brazo robot tipo SCARA y al brazo robot cilíndrico. En el brazo Scara se tendrán que resolver los dos ángulos de las articulaciones. En este tipo de brazos el eje Z no interviene en la cinemática inversa porque es un resultado en sí mismo. Desde el punto de vista del cálculo del modelo matemático sólo se tendrán en cuenta los ejes X e Y,  y la longitud de lasarticulaciones.

Imágenes tomas de http://www.monografias.com/trabajos10/robap/robap.shtml y http://proyectosroboticos.wordpress.com/tag/robot-arm/
Para calcular la Cinemática Inversa de dos grados de libertad del brazo se debe calcular:
* El ángulo del brazo
* El ángulo del Antebrazo

Ya se deben tener los siguientes datos

* Longitud del brazo
* Longitud del antebrazo
*Eje X
* Eje Y

Gamma
AngAntBr
LongBrazo LongAntBr

Y AngBrazo
Beta Hipotenusa
(0,0) AlfaX

Solución
Hipotenusa=sqr((X˄2) + (Y˄2))
Alfa= Atan2(Y,X)
Beta=Acos((LongBrazo˄2 – LongAntBr˄2 + Hipotenusa˄2) / (2 * LongBrazo * Hipotenusa))
AngBrazo = Alfa + Beta
Gamma= Acos ((LongBrazo˄2 + LongAntBr˄2 - Hipotenusa˄2) / (2 * LongBrazo * LongAntBr))
AngAntBr = Gamma – 180
El triángulo formado por LongBrazo, LongAntBr e Hipotenusa suele ser del tipo irregular, sobre todo...